使用 FFT 的 DCT 导致复杂的结果

Question

我正在尝试根据本文 https://www.researchgate.net/publication/330405662_PittPack_Open-Source_FFT-Based_Poisson%27s_Equation_Solver_for_Computing_With_Accelerators（第 "Neumann Boundary Condition" 节）实施 DCT10。但是我遇到的问题是，在执行 FFT 和半样本移位后，结果不是纯真实的（我认为它应该是，对吧？）因此当截断虚部时，提到的反向变换不会导致我原来的结果值。

这是我的 Matlab 代码（第一维 DCT）：

function X_dct = dct_type2(x_sig)
    N = size(x_sig);

    % shuffle to prepare for FFT
    x_hat = zeros(N);
    for m = 1 : N(2)
        for n = 1 : (N(1) / 2)
            x_hat(n, m) = x_sig((2 * n) - 1, m);
            x_hat(N(1) - n + 1, m) = x_sig(2 * n, m);
        end
    end

    % perform FFT
    X_hat_dft = fft(x_hat, N(1), 1);

    % apply shifting by half-sample
    X_dct = zeros(N);
    for m = 1 : N(2)
        for k = 1 : N(1)
            X_dct(k, m) = 2 * exp(-1i * (pi * (k-1)) / (2 * N(1))) * X_hat_dft(k, m);
        end
    end
end

有人可以解释一下这里的问题是什么吗？还是我认为结果应该是纯真实的假设是错误的？

Answer 1

所以事实证明，使用这种技术舍弃非零虚部是正确的，尽管直觉上我觉得这是错误的。反向变换没有恢复原始值只是频率分量的缩放问题。

使用 FFT 的 DCT 导致复杂的结果

DCT using FFT results in complex result

fft

dct