如何从 CORDIC 中去除比例因子
How to get rid of scale factor from CORDIC
来自 CORDIC，K_i = cos(tan^-1(2^i))。据我所知，接近 K 0.607xxx。我如何接近 0.607xxx？
这是否意味着我可以使用 0.607xxx 而不是 cos(tan^-1(2^I))？我引用的是 this article.
我正在尝试实现双曲 tanh 函数。到目前为止，我理解（6）等式。我不确定如何制作 K 以及如何使用它？
更新：
我想知道总缩放概念在何处应用以获得正弦、余弦角。
这里有一些例子，我将指定的角度设置为 20。
我想知道正弦、余弦角。过程如下。
n d x y angle K arctan value
0 1 0.7071 0.7071 0.7854 0.7071 0.785398
....
10 -1 0.9395 0.3426 0.3497 1 0.000976
指定角度为20 degree(0.3491)即可得到
然后我们得到 sine (20) = 0.9395
Cos(20) = 0.3497
完成。
但我仍然很好奇总缩放 concept(0.607) 应用在哪里？其中总缩放比例 concept(0.607 ) 用于计算 sin、cos 角 ?
CORDIC 算法中的每一步都添加了 cos(arctan(2^-i))（或 1/sqrt(1+2^-2i)）的缩放比例，因此对于 4 步 CORDIC，总缩放比例为：
cos(arctan(2^-0))*cos(arctan(2^-1))*cos(arctan(2^-2))*cos(arctan(2^-3)) = 0.60883
如果您添加更多迭代，它会达到 0.607252935 和一些。至于如何处理该因素，取决于您和您实现的功能。您可能想要删除它并给出未缩放的结果，或者您的消费者可能能够更轻松地处理它。
在 tanh 的情况下，我认为两个值的除法具有相同的缩放比例，因此在这种情况下会抵消。我真的不太确定那个，因为我没有在这种模式下使用 CORDIC，所以你必须自己弄清楚。
更新
CORDIC 的优点是每次迭代都是 X 和 Y 上的移位+加法。在您的示例中，您合并了比例因子，它给出了正确的答案，但不是必需的，并且不允许简单的 shift + add 操作。因此，我们将缩放保留为 post 操作（或初始化），或者如果后续模块可以处理缩放的答案，则完全不存在。
获得 sin/cos of 20 的方法是，从 X = 1; Y = 0; Z = 20:
开始
Z0 = 20 - 45.00 = -25.00; X0 = 1 - 0 = 1; Y0 = 0 + 2^-0 = 1
Z1 = Z0 + 26.57 = 1.57; X1 = X0 + Y0*2^-1 = 1.5000; Y1 = Y0 - X0*2^-1 = 0.5000
Z2 = Z1 - 14.04 = -12.47; X2 = X1 - Y1*2^-2 = 1.3750; Y2 = Y1 + X1*2^-2 = 0.8750
Z3 = Z2 + 7.13 = - 5.35; X3 = X2 + Y2*2^-3 = 1.4844; Y3 = Y2 - X2*2^-3 = 0.7031
Z4 = Z3 + 3.58 = - 1.77; X4 = X3 + Y3*2^-4 = 1.5283; Y4 = Y3 - X3*2^-4 = 0.6104
Z5 = Z4 + 1.79 = 0.02; X5 = X4 + Y4*2^-5 = 1.5474; Y5 = Y4 - X4*2^-5 = 0.5626
Z6 = Z5 - 0.90 = - 0.88; X6 = X5 - Y5*2^-6 = 1.5386; Y6 = Y5 + X5*2^-6 = 0.5868
最终答案按比例缩放：cos(20) = X6*0.607 = 0.9339 和 sin(20) = Y6*0.607 = 0.3562。忽略缩放因子的好处应该很明显，每次迭代都是Xi = Xi-1 +- Yi-1 * 2^-i，也就是shift和add。您也不需要将比例因子存储在 ROM 或其他地方；您唯一需要的内存是 arctan(2^-i).
请注意，您可以通过从 X = 0.607 而不是 X = 1 开始获得未缩放的结果。
使用 CORDIC 时，您可以通过 sin 与 cos 或 sinh 与 cosh 的比值来计算 tan 和 tanh。由于这两项都应用了比例因子，因此 K 抵消了，您无需进行任何校正。您确实需要注意潜在的溢出问题，并确保 X 和 Y 寄存器中有足够的位来保存缩放后的值。另一种选择是预缩放 X 和 Y 输入值（乘以 0.607），以便在 运行 算法之后增益为 1。
来自 CORDIC，K_i = cos(tan^-1(2^i))。据我所知，接近 K 0.607xxx。我如何接近 0.607xxx？
这是否意味着我可以使用 0.607xxx 而不是 cos(tan^-1(2^I))？我引用的是 this article.
我正在尝试实现双曲 tanh 函数。到目前为止，我理解（6）等式。我不确定如何制作 K 以及如何使用它？
更新：
我想知道总缩放概念在何处应用以获得正弦、余弦角。 这里有一些例子，我将指定的角度设置为 20。 我想知道正弦、余弦角。过程如下。
n d x y angle K arctan value
0 1 0.7071 0.7071 0.7854 0.7071 0.785398
....
10 -1 0.9395 0.3426 0.3497 1 0.000976
指定角度为20 degree(0.3491)即可得到
然后我们得到 sine (20) = 0.9395
Cos(20) = 0.3497
完成。
但我仍然很好奇总缩放 concept(0.607) 应用在哪里？其中总缩放比例 concept(0.607 ) 用于计算 sin、cos 角 ?
CORDIC 算法中的每一步都添加了 cos(arctan(2^-i))（或 1/sqrt(1+2^-2i)）的缩放比例，因此对于 4 步 CORDIC，总缩放比例为：
cos(arctan(2^-0))*cos(arctan(2^-1))*cos(arctan(2^-2))*cos(arctan(2^-3)) = 0.60883
如果您添加更多迭代，它会达到 0.607252935 和一些。至于如何处理该因素，取决于您和您实现的功能。您可能想要删除它并给出未缩放的结果，或者您的消费者可能能够更轻松地处理它。
在 tanh 的情况下，我认为两个值的除法具有相同的缩放比例，因此在这种情况下会抵消。我真的不太确定那个，因为我没有在这种模式下使用 CORDIC，所以你必须自己弄清楚。
更新
CORDIC 的优点是每次迭代都是 X 和 Y 上的移位+加法。在您的示例中，您合并了比例因子，它给出了正确的答案，但不是必需的，并且不允许简单的 shift + add 操作。因此，我们将缩放保留为 post 操作（或初始化），或者如果后续模块可以处理缩放的答案，则完全不存在。
获得 sin/cos of 20 的方法是，从 X = 1; Y = 0; Z = 20:
Z0 = 20 - 45.00 = -25.00; X0 = 1 - 0 = 1; Y0 = 0 + 2^-0 = 1
Z1 = Z0 + 26.57 = 1.57; X1 = X0 + Y0*2^-1 = 1.5000; Y1 = Y0 - X0*2^-1 = 0.5000
Z2 = Z1 - 14.04 = -12.47; X2 = X1 - Y1*2^-2 = 1.3750; Y2 = Y1 + X1*2^-2 = 0.8750
Z3 = Z2 + 7.13 = - 5.35; X3 = X2 + Y2*2^-3 = 1.4844; Y3 = Y2 - X2*2^-3 = 0.7031
Z4 = Z3 + 3.58 = - 1.77; X4 = X3 + Y3*2^-4 = 1.5283; Y4 = Y3 - X3*2^-4 = 0.6104
Z5 = Z4 + 1.79 = 0.02; X5 = X4 + Y4*2^-5 = 1.5474; Y5 = Y4 - X4*2^-5 = 0.5626
Z6 = Z5 - 0.90 = - 0.88; X6 = X5 - Y5*2^-6 = 1.5386; Y6 = Y5 + X5*2^-6 = 0.5868
最终答案按比例缩放：cos(20) = X6*0.607 = 0.9339 和 sin(20) = Y6*0.607 = 0.3562。忽略缩放因子的好处应该很明显，每次迭代都是Xi = Xi-1 +- Yi-1 * 2^-i，也就是shift和add。您也不需要将比例因子存储在 ROM 或其他地方；您唯一需要的内存是 arctan(2^-i).
请注意，您可以通过从 X = 0.607 而不是 X = 1 开始获得未缩放的结果。
使用 CORDIC 时，您可以通过 sin 与 cos 或 sinh 与 cosh 的比值来计算 tan 和 tanh。由于这两项都应用了比例因子，因此 K 抵消了，您无需进行任何校正。您确实需要注意潜在的溢出问题，并确保 X 和 Y 寄存器中有足够的位来保存缩放后的值。另一种选择是预缩放 X 和 Y 输入值（乘以 0.607），以便在 运行 算法之后增益为 1。