MPFR - 添加后精度损失
MPFR - Loss precision after addition
首先，抱歉，如果这个问题看起来 "silly"，因为我是 MPFR 的新手，哈哈。
我有两个精度为 1024 的 mpfr_t 变量，它们存储了 0.2 和 0.06 的值。
但是当我添加这些变量时，事情出错了，结果（也是一个 mpfr_t 变量）的值为 0.2599999...
这很奇怪，因为 MPFR 库应该保持精度（不是吗？）。
你能帮我解决这个问题吗？非常感谢，提前这么多。
MPFR 数字以二进制（基数 2）表示。在这个系统中，唯一可以精确表示的数字具有 N·2k 的形式，其中 N 和 k 是整数。 0.2 = 1/5 和 0.06 = 3/50 都没有这种形式，因此它们的近似值有一些小误差。当您添加这些变量时，您会看到此错误的结果（加法运算中可能还会出现另一个错误，因为在二进制中这些数字有许多非零数字，这与十进制不同）。
此问题与以下描述的问题相同：Is floating point math broken?
编辑：
回答评论"Is there a way to avoid this situation?"中的问题，不，在实践中没有办法避免这种情况，除非在非常特殊的情况下。例如，如果您所有的数字（每个中间操作的输入和结果）都是十进制数，可以用足够小的数字表示，您可以使用十进制算术（但 MPFR 不能这样做）。在某些情况下，计算机代数系统可能会有所帮助。还有iRRAM……待会儿再说。
但是，有一些解决方案可以尝试隐藏数字错误问题。您需要估计计算值的最大可能误差。通过错误分析，您可以获得严格的界限，但这可能很困难或需要时间。请注意，严格界限通常是悲观的，但如果您使用任意精度（例如使用 MPFR），则问题不大。可以使用区间算法动态地进行分析（仍然是悲观的，甚至更糟）。但也许一个简单的估计对你来说就足够了。一旦您估计了最大误差：
- 对于输出，选择显示的位数，使误差小于最后显示的数字的权重。
- 对于不连续函数（例如等式测试、floor、ceil）：如果计算值与不连续点之间的距离小于最大误差，则假定实际值等于不连续点。请注意，这只是一种启发式方法，但如果它失败了（这可能会被忽视并且可能会使您的估计无效），这意味着您没有以足够的精度进行计算。
注意：MPFR 不会为您做那件事。但是您可以编写代码来考虑这些规则。
基于 MPFR 的 iRRAM 封装可以以严格的方式跟踪错误（例如使用区间算法）并且 自动 以更高的精度重做所有计算如果它注意到准确度太低。然而，如果某些数学结果是一个不连续点，iRRAM 将无济于事。特别是，它不能提供严格的相等性测试。
最后，我建议您看一下 Goldberg 的论文 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic，尤其是 取消 的概念。
首先，抱歉，如果这个问题看起来 "silly"，因为我是 MPFR 的新手，哈哈。
我有两个精度为 1024 的 mpfr_t 变量，它们存储了 0.2 和 0.06 的值。
但是当我添加这些变量时，事情出错了，结果（也是一个 mpfr_t 变量）的值为 0.2599999...
这很奇怪，因为 MPFR 库应该保持精度（不是吗？）。
你能帮我解决这个问题吗？非常感谢，提前这么多。
MPFR 数字以二进制（基数 2）表示。在这个系统中，唯一可以精确表示的数字具有 N·2k 的形式，其中 N 和 k 是整数。 0.2 = 1/5 和 0.06 = 3/50 都没有这种形式，因此它们的近似值有一些小误差。当您添加这些变量时，您会看到此错误的结果（加法运算中可能还会出现另一个错误，因为在二进制中这些数字有许多非零数字，这与十进制不同）。
此问题与以下描述的问题相同：Is floating point math broken?
编辑：
回答评论"Is there a way to avoid this situation?"中的问题，不，在实践中没有办法避免这种情况，除非在非常特殊的情况下。例如，如果您所有的数字（每个中间操作的输入和结果）都是十进制数，可以用足够小的数字表示，您可以使用十进制算术（但 MPFR 不能这样做）。在某些情况下，计算机代数系统可能会有所帮助。还有iRRAM……待会儿再说。
但是，有一些解决方案可以尝试隐藏数字错误问题。您需要估计计算值的最大可能误差。通过错误分析，您可以获得严格的界限，但这可能很困难或需要时间。请注意，严格界限通常是悲观的，但如果您使用任意精度（例如使用 MPFR），则问题不大。可以使用区间算法动态地进行分析（仍然是悲观的，甚至更糟）。但也许一个简单的估计对你来说就足够了。一旦您估计了最大误差：
- 对于输出，选择显示的位数，使误差小于最后显示的数字的权重。
- 对于不连续函数（例如等式测试、floor、ceil）：如果计算值与不连续点之间的距离小于最大误差，则假定实际值等于不连续点。请注意，这只是一种启发式方法，但如果它失败了（这可能会被忽视并且可能会使您的估计无效），这意味着您没有以足够的精度进行计算。
注意：MPFR 不会为您做那件事。但是您可以编写代码来考虑这些规则。
基于 MPFR 的 iRRAM 封装可以以严格的方式跟踪错误（例如使用区间算法）并且 自动 以更高的精度重做所有计算如果它注意到准确度太低。然而，如果某些数学结果是一个不连续点，iRRAM 将无济于事。特别是，它不能提供严格的相等性测试。
最后，我建议您看一下 Goldberg 的论文 What Every Computer Scientist Should Know About Floating-Point Arithmetic，尤其是 取消 的概念。