使用 JiTCDDE 的意外解决方案

Question

我正在尝试使用 Python 研究以下时滞微分方程的行为：

y''(t) = -y(t)/τ^2 - 2y'(t)/τ - Nd*f(y(t-T))/τ^2,

其中 f 是一个截止函数，当其参数的绝对值在 1 和 10 之间时，它基本上等于恒等式，否则等于 0（见图 1），并且 Nd、τ 和 T 是常量。

为此，我使用了 JiTCDDE 包。这为上述等式提供了合理的解。然而，当我尝试在等式右侧添加噪声时，我得到了一个解，该解在几次振荡后稳定为非零常数。这不是方程的数学解（唯一可能的常数解等于零）。不明白为什么会出现这个问题，能不能解决。

我在下面复制了我的代码。在这里，为了简单起见，我用高频余弦代替噪声，将其引入方程组作为虚拟变量的初始条件（余弦可以直接引入系统，但对于一般噪音这似乎不可能）。为了进一步简化问题，我还删除了涉及 f 函数的术语，因为没有它也会出现问题。图 2 显示了代码给出的函数图。

from jitcdde import jitcdde, y, t
import numpy as np
from matplotlib import pyplot as plt
import math
from chspy import CubicHermiteSpline


# Definition of function f:
def functionf(x):
    return x/4*(1+symengine.erf(x**2-Bmin**2))*(1-symengine.erf(x**2-Bmax**2))

#parameters:
τ = 42.9
T = 35.33
Nd = 8.32

# Definition of the initial conditions:
dt = .01  # Time step.
totT = 10000.  # Total time.
Nmax = int(totT / dt)  # Number of time steps.
Vt = np.linspace(0., totT, Nmax)  # Vector of times.

# Definition of the "noise"
X = np.zeros(Nmax)
for i in range(Nmax):
    X[i]=math.cos(Vt[i])
past=CubicHermiteSpline(n=3)
for time, datum in zip(Vt,X):
    regular_past = [10.,0.]
    past.append((
        time-totT,
        np.hstack((regular_past,datum)),
        np.zeros(3)
        ))
noise= lambda t: y(2,t-totT)


# Integration of the DDE
g = [
     y(1),
     -y(0)/τ**2-2*y(1)/τ+0.008*noise(t)
     ]
g.append(0)


DDE = jitcdde(g) 
DDE.add_past_points(past)   
DDE.adjust_diff()

data = []
for time in np.arange(DDE.t, DDE.t+totT, 1):
    data.append( DDE.integrate(time)[0] )

plt.plot(data)
plt.show()

顺便说一句，我注意到即使没有噪声，解在零点处似乎是不连续的（对于负时间，y 设置为等于零），我不明白为什么。

Answer 1

随着评论的揭晓，你的问题最终归结为：

step_on_discontinuities 假定相对于积分时间的延迟很小，并执行放置在延迟分量指向积分开始的那些时间的步骤（在您的情况下为 0）。这样 initial discontinuities 就处理好了。

但是，使用延迟的虚拟变量实现输入会给系统带来很大的延迟，在您的情况下 totT。 step_on_discontinuities 的相应步骤将在 totT 本身，即在所需的积分时间之后。因此，当您在代码中达到 for time in np.arange(DDE.t, DDE.t+totT, 1): 时，DDE.t 就是 totT。因此，在你真正开始整合和观察之前，你已经迈出了一大步，这看起来像是一个不连续的过程，会导致奇怪的结果，特别是你看不到你输入的效果，因为它已经在这一点上“结束”了。为避免这种情况，请使用 adjust_diff 或 integrate_blindly 而不是 step_on_discontinuities.

使用 JiTCDDE 的意外解决方案

Unexpected solution using JiTCDDE

python-3.x

differential-equations

numerical-stability

jitcode-jitcdde-jitcsde