为什么我们使用 CORDIC 增益？

Question

我正在研究 cordic。我发现了可喜的收获。 K=0.607XXX.

来自 CORDIC，K_i = cos(tan^-1(2^i)).

据我所知，K 接近于 0。607xxx.when我要无穷大

这个值是所有K相乘得到的。

我明白每k个存在的原因。但我很好奇它用在哪里？为什么我们使用该值 K=0.607xx?

Answer 1

CORDIC 圆形变体的旋转模式的比例因子可以很容易地从第一原理建立。 CORDIC 背后的想法是在单位圆上取一个点并逐步旋转它 u 我们想要确定其正弦和余弦的角度。

为此我们定义了一组增量角 a₀, ..., a_n-1，使得 a _k = atan(0.5^k)。我们将这些增量角度适当地求和为角度的部分和 s_k，例如 s_n ~= u.设 y_k = cos(s_k) 和 x_k = sin(s_k)。如果在给定的步骤 k 中我们旋转了 a_k，我们有

y_k+1 = cos (s_k+1) = cos (s_k + a_k)
x_k+1 = sin (s_k+1) = sin (s_k + a_k)

我们可以从 x_k 计算出 x_k+1 和 y_k+1和 y_k 如下：

y_k+1 = y_k * cos (a_k) - x _k * sin (a_k)
x_k+1 = x_k * cos (a_k) + y_k * sin (a_k)

考虑到我们可以同时加减a_k，tan(a_k) = sin(a_k)/cos(a_k)，我们得到：

y_k+1 = cos (a_k) * (y_k ∓ x_k * tan(a_k)) = cos (s_k+1)
x_k+1 = cos (a_k) * (x_k ± y_k * tan(a_k)) = sin (s_k+1)

为了简化这个计算，我们可以在每一步中省去与 cos(a_k) 的乘法，这给出了我们的 CORDIC 迭代方案：

y_k+1 = y ∓ x_k * tan(a_k)
x_k+1 = x ± y_k * tan(a_k)

因为我们选择了 a_k，如果我们计算定点运算。因为我们省略了因数 cos(a_k)，我们最终得到

y_n ~= cos(u) * (1 / (cos (a₀) * cos (a₁) * ... * cos (a_n))
x_n ~= sin(u) * (1 / (cos (a₀) * cos (a₁) * ... * cos (a_n))

因数f = cos(a₀) * cos(a₁) * ... * cos (a_n) 是 0.607...，如前所述。我们通过设置起始值

将其合并到计算中

y₀ = f * cos(0) = f
x₀ = f * sin(0) = 0

这是显示整个计算过程的 C 代码，使用 16 位定点算法。输入角度被缩放，使得 360 度对应于 2¹⁶，而正弦和余弦输出被缩放，使得 1 对应于 2¹⁵.

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>

/* round (atand (0.5**i) * 65536/360) */
static const short a[15] = 
{
    0x2000, 0x12e4, 0x09fb, 0x0511, 
    0x028b, 0x0146, 0x00a3, 0x0051, 
    0x0029, 0x0014, 0x000a, 0x0005, 
    0x0003, 0x0001, 0x0001
};

#define swap(a,b){a=a^b; b=b^a; a=a^b;}

void cordic (unsigned short u, short *s, short *c)
{
    short x, y, oldx, oldy, q;
    int i;

    x = 0;
    y = 0x4dba;  /* 0.60725 */
    oldx = x;
    oldy = y;

    q = u >> 14;    /* quadrant */
    u = u & 0x3fff; /* reduced angle */
    u = -(short)u;

    i = 0;
    do {
        if ((short)u < 0) {
            x = x + oldy;
            y = y - oldx;
            u = u + a[i];
        } else {
            x = x - oldy;
            y = y + oldx;
            u = u - a[i];
        }
        oldx = x;
        oldy = y;
        i++;
        /* right shift of signed negative number implementation defined in C */
        oldx = (oldx < 0) ? (-((-oldx) >> i)) : (oldx >> i);
        oldy = (oldy < 0) ? (-((-oldy) >> i)) : (oldy >> i);
    } while (i < 15);

    for (i = 0; i < q; i++) {
        swap (x, y);
        y = -y;
    }

    *s = x;
    *c = y;
}

int main (void)
{
    float angle;
    unsigned short u;
    short s, c;

    printf ("angle in degrees [0,360): ");
    scanf ("%f", &angle);
    u = (unsigned short)(angle * 65536.0f / 360.0f + 0.5f);
    cordic (u, &s, &c);
    printf ("sin = % f  (ref: % f)  cos = % f (ref: % f)\n",
            s/32768.0f, sinf(angle/360*2*3.14159265f), 
            c/32768.0f, cosf(angle/360*2*3.14159265f));
    return EXIT_SUCCESS;
}

为什么我们使用 CORDIC 增益？

Why we use CORDIC gain?

math

fpga

cordic