使用 vpa() 时 mod() 的 MATLAB 奇怪行为

Question

如果我们有如下代码：

base = vpa(1); 
height = vpa(2.2);
mod(2*base + height + height, 2 * (base + height))

这将产生 6.4 的输出。我希望结果为 0，而数值解确实给出 0。但我需要使用带有 vpa().

的符号值

我做了一些实验来找出原因并发现：

simplify(2*base + height + height < 6.4)
simplify(2 * (base + height) == 6.4)

都给TRUE。所以相同的（数字）表达式更小，等于 6.4。

我应该怎么做才能解决这个问题并得到 0 的答案？是什么导致了这个问题？

Answer 1

mod(2*base + height + height, base+base+height+height)

这行代码生成 0。仍然不确定到底是什么导致了幕后问题。 product 和 sum 之间似乎有明显的区别，因为以下代码行是 FALSE

mod(base+base+height+height, 2*(base+height))

Answer 2

问题是 vpa 提供任意大的精度，但 不精确 。首先，请注意 vpa with a second input uses digits 精度数字，默认情况下为 32。当你这样做时

height = vpa(2.2)

这与

相同

height = vpa(2.2, 32)

假设 digits 是 32。因此 height 将具有 32 位精度，但并不精确。要看到这一点，请更精确地评估定义的 height：

>> vpa(height, 32)
ans =
2.2
>> vpa(height, 40)
ans =
2.2
>> vpa(height, 50)
ans =
2.2000000000000000000000000000000000000001469367939

这种不准确性在 2*base + height + height 和 2 * (base + height) 之间引入了数值差异，两者实际上都不等于 6.4:

>> base = vpa(1); 
>> height = vpa(2.2);
>> vpa(2*base + height + height, 50)
ans =
6.3999999999999999999999999999999999999988245056492
>> vpa(2 * (base + height), 50)
ans =
6.4000000000000000000000000000000000000002938735877

因此，即使 mod(2*base + height + height, 2 * (base + height)) 看起来 是 0

>> mod(2*base + height + height, 2 * (base + height))
ans =
6.4

but it's _not_:

>> vpa(mod(2*base + height + height, 2 * (base + height)), 50)
ans =
6.3999999999999999999999999999999999999988245056492

请注意，后一个结果中与 6.4 的偏差不等于上述两个小偏差的总和；相反，它等于第一个。数值不准确不保证是相加的。

简而言之，vpa 减少但不能完全避免数值精度错误。

如果我们增加用于 vpa 的位数会怎样？这会提供更高的精度并可能解决问题吗？

>> base = vpa(1, 1000); 
>> height = vpa(2.2, 1000);

奇怪的是，尽管使用了更多的数字，我们还是得到了和以前一样的不准确：

>> vpa(2*base + height + height, 50)
ans =
6.3999999999999999999999999999999999999988245056492
>> vpa(2 * (base + height), 50)
ans =
6.4000000000000000000000000000000000000002938735877
>> vpa(mod(2*base + height + height, 2 * (base + height)), 50)
ans =
6.3999999999999999999999999999999999999988245056492

因此，避免精度错误的唯一方法是将 vpa 替换为 符号变量 ，即 exact：

>> base = sym(1)
base =
1
>> height = sym(2.2)
height =
11/5

关于如何定义符号变量的题外话是有序的。请注意，sym(2.2) 有一个潜在的问题，即它首先将 2.2 定义为 double 浮点数，其固有的不准确性，并且 then即转换为sym。在这种情况下，这不是问题，因为 2.2 的浮点数值表示恰好是精确的。事实上，我们可以检查 Matlab 显示 height = sym(2.2)，这是准确的。此外，即使 double 表示不准确，Matlab 也会尝试猜测您的意图，并且通常会成功：

>> sym(3.141592653589793)
ans =
pi

（Matlab 假设我们指的是数字 pi）...但并非总是如此：

>> sym(sqrt(777))
ans =
777^(1/2)
>> sym(sqrt(777777))
ans =
7757421003204227/8796093022208

(sqrt(777) 给出 double 结果 27.874719729532707，它被 sym 识别为 777 的平方根的近似值。在另一方面，sqrt(777777) 给出 8.819166627295348e+02，sym 无法将其识别为 777777 的平方根的近似值）。

>> sym(7777)
ans =
7777
>> sym(7777777777777777777)
ans =
7777777777777777664

（7777 正好表示为 double，但 7777777777777777777 不是，因为它超过了 2^53。）

所以，可以肯定的是，安全的定义符号变量的方法是只使用小整数，其他符号变量，或精确的字符串表示:

>> height = sym('22/10')
height =
11/5

现在，base 和 height 被正确定义为符号变量，我们得到了预期的结果：

>> mod(2*base + height + height, 2 * (base + height))
ans =
0
>> vpa(mod(2*base + height + height, 2 * (base + height)), 1000)
ans =
0.0

使用 vpa() 时 mod() 的 MATLAB 奇怪行为

MATLAB strange behaviour with mod() when using vpa()

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