Scipy 在计算特征值和特征向量时的问题

Question

我正在研究微分算子的谱特性。去感受事物我决定开始计算具有周期性边界条件

的一维拉普拉斯算子的特征值和特征向量

Lap = 
[[-2, 1, 0, 0, ..., 1],
 [ 1,-2, 1, 0, ..., 0],
 [ 0, 1,-2, 1, ..., 0],
 ...
 ...
 [ 0, 0, ..., 1,-2, 1],
 [ 1, 0, ..., 0, 1,-2]]

所以我运行以下

import numpy as np
import scipy.linalg as scilin

N = 12
Lap = np.zeros((N, N))
for i in range(N):
   Lap[i, i] = -2
   Lap[i, (i+1)%N] = 1
   Lap[i, (i-1)%N] = 1

eigvals, eigvecs = scilin.eigh(Lap)

哪里

> print(eigvals)
[-4.00000000e+00 -3.73205081e+00 -3.73205081e+00 -3.00000000e+00
 -3.00000000e+00 -2.00000000e+00 -2.00000000e+00 -1.00000000e+00
 -1.00000000e+00 -2.67949192e-01 -2.67949192e-01  9.43689571e-16]

这是我所期望的。但是我决定验证这些特征值和特征向量是正确的。我最终得到的是

> (Lap - eigvals[0]*np.identity(N)).dot(eigvecs[0])
array([ 0.28544445,  0.69044928,  0.83039882,  0.03466493, -0.79854101,
       -0.81598463, -0.78119579, -0.7445237 , -0.769496  , -0.79741997,
       -1.09625463, -0.69683007])

我希望得到零向量。那么这是怎么回事？

Answer 1

正如@Warren 在评论中提到的，特征向量是 eigvecs 的列。在 numpy 索引中，eigvecs[0] 代表 eigvecs 的第一行。要修复它：

print((Lap-eigvals[0]*np.eye(N))@eigvecs[:,0])

[-6.66133815e-16  2.55351296e-15 -1.77635684e-15  1.11022302e-16
  5.55111512e-16 -2.22044605e-16 -3.66373598e-15 -4.44089210e-16
  7.77156117e-16 -1.11022302e-16 -1.66533454e-15  2.22044605e-15]

基本上全是0（数字是因为精度问题）

Scipy 在计算特征值和特征向量时的问题

Issues with Scipy in computing eigenvalues and eigenvectors

python

numpy

scipy

eigenvalue

eigenvector