为什么在数字大于 48 位的情况下函数会失败？

Question

我正在寻找

(a^b) % mod

其中 b 和 mod 最大为 10^9，而 l 可以非常大我已经成功测试了最多 48 位数字使用这个关系

(a^b) % mod = (a%mod)^b % mod

#define ll long long int
ll powerLL(ll x, ll n,ll MOD)
        {

        ll result = 1;
   

 while (n) {
        if (n & 1)
            result = result * x % MOD;
        n = n / 2;
        x = x * x % MOD;
    }
    return result;
}


ll powerStrings(string sa, string sb,ll MOD)
{


    ll a = 0, b = 0;


    for (size_t i = 0; i < sa.length(); i++)
        a = (a * 10 + (sa[i] - '0')) % MOD;

    for (size_t i = 0; i < sb.length(); i++)
        b = (b * 10 + (sb[i] - '0')) % (MOD - 1);

    return powerLL(a, b,MOD);
}

powerStrings("5109109785634228366587086207094636370893763284000","362323789",354252525) returns 208624800 但它应该 return [=[=2435=]30=] 26=]。在这种情况下 a 是 49 位

powerStrings("300510498717329829809207642824818434714870652000","362323489",354255221) returns 282740484 ，这是正确的。在这种情况下 a 是 48 位

代码有问题还是我必须使用其他方法来做同样的事情？？

Answer 1

它不起作用，因为它在数学上不正确。

一般来说，我们有 pow(a, n, m) = pow(a, n % λ(m), m)（a 与 m 互质），其中 λ 是 Carmichael function. As a special case, when m is a prime number, then λ(m) = m - 1. That situation is also covered by Fermat's little theorem。那只是一个特例，并不总是有效。

λ(354252525) = 2146980，如果我hack that in那么正确的结果就出来了。（虽然基数实际上并不是模数的互质）

一般来说，您需要为模数计算 Carmichael 函数，这很重要，但对于小模数是可行的。

为什么在数字大于 48 位的情况下函数会失败？

Why the function is failing in case of numbers greater than 48 digits?

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