如何从具有高斯噪声的输出中找到变换矩阵？

Question

对于下面给定的输入和输出，矩阵A可以在MATLAB中通过伪逆或mrdivision求出。同样，我现在想知道，如果我的输出信号 Y 矩阵包含加性零均值、不相关的高斯噪声，如何确定 A？

x1 = [1 1 1]';
x2 = [0 1 1]';
x3 = [0 0 1]';
x4 = [1 0 1]';

y1 = [1 2 0]';
y2 = [-1 0 3]';
y3 = [3 1 1]';
y4 = [5 3 -2]';

X = [x1 x2 x3 x4];
Y = [y1 y2 y3 y4];

A = Y/X

此外，我对未知噪声输出建模如下：

y1_n = y1 + sqrt(var(y1))*randn(size(y1));
y2_n = y2 + sqrt(var(y2))*randn(size(y2));
y3_n = y3 + sqrt(var(y3))*randn(size(y3));
y4_n = y4 + sqrt(var(y4))*randn(size(y4));
Y = [y1_n y2_n y3_n y4_n];

Answer 1

语句A = Y/X求解线性方程组A*X = Y。如果系统被过度确定，就像您的情况一样，给出的解决方案是最小二乘法。因此，如果您在 Y 上有加性、零均值、不相关的高斯噪声，那么 A = Y/X 将为您提供 A.

的最佳无偏估计。

请注意，您添加到 Y 矩阵的噪声非常大，因此 A 的估计值与理想值相去甚远。如果加入较少的噪音，估计会更接近：

x1 = [1 1 1]';
x2 = [0 1 1]';
x3 = [0 0 1]';
x4 = [1 0 1]';
X = [x1 x2 x3 x4];

y1 = [1 2 0]';
y2 = [-1 0 3]';
y3 = [3 1 1]';
y4 = [5 3 -2]';
Y = [y1 y2 y3 y4];

for n = [1,0.1,0.01,0]
   Y_n = Y + n*randn(size(Y));
   A = Y_n/X;
   fprintf('n = %f, A = \n',n)
   disp(A)
end

输出：

n = 1.000000, A = 
    2.9728   -5.5407    2.8011
    2.6563   -1.3166    0.6596
   -3.3366    1.1349    1.5342

n = 0.100000, A = 
    2.0011   -4.0256    2.9402
    1.9223   -1.0029    1.0921
   -3.1383    1.9874    1.0913

n = 0.010000, A = 
    1.9903   -3.9912    2.9987
    1.9941   -1.0001    1.0108
   -3.0015    2.0001    1.0032

n = 0.000000, A = 
    2.0000   -4.0000    3.0000
    2.0000   -1.0000    1.0000
   -3.0000    2.0000    1.0000

当然，如果您通过添加更多向量使 X 和 Y 更大，您也会得到更好的估计，并且能够补偿更多噪声数据。

如何从具有高斯噪声的输出中找到变换矩阵？

How to find transformation matrix from the output with Gaussian noise?

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