没有在 coq 中明确指定类型的实例

Question

我有兴趣尝试使用 Coq 构建集合论。我想定义一个类型 sets 而不指定其成员是什么，以及一个将两个集合映射到 Prop

的函数

Definition elem (s1 s1 : sets) : Prop.

然后我会提出集合论假设的公理，并将定理表达为（例如）

Theorem : ZFC -> (forall s : sets, ~ elem s s).

但是，上面的语法不起作用。这个想法可以在 Coq 中实现吗？在 Coq 中有没有更好的方法来实现这个目标？我是 Coq 的新手，如果有明显的方法我不知道，我深表歉意。

Answer 1

你需要给定理命名。对于假设事物，请使用 Parameter 和 Axiom（这在技术上意味着同一件事，但您可以用来非正式地区分概念和事实）。

Parameter set : Type.
Parameter elem : set -> set -> Prop.

Axiom set_extensionality : forall x y, (forall z, elem z x <-> elem z y) -> x = y.
(* etc. *)

相比之下，Definition和Theorem用于定义和证明事物。假设了 ZFC 公理后，您可以证明集合不是其自身的元素。 Theorem命令先取一个定理名（以后用来指代）：

Theorem no_self_elem : forall x, ~ elem x x.
Proof.
  (* tactics here. *)
Qed.

没有在 coq 中明确指定类型的实例

Not explicitly specifying instances of a type in coq

coq

set-theory