为什么我计算 pi 数的函数冻结了？

Question

我需要计算 pi 数字直到第 15 位，但我的函数冻结了。我使用这个泰勒级数：

atan(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} \cdot x^{2n + 1}}{2n + 1}

x 等于 1。

有我的功能：

public static decimal Pi()
{
   decimal curr = 4m, 
   prev = 0m,
   one = -1m,
   den = 3.0m;

   while (Math.Abs(curr - prev) > 1e-15m)
   {
      prev = curr;
      curr += 4.0m * one / den;
      one = -one;
      den += 2.0m;
   }
        
   return curr;
}

调试了，没找到原因。 Link 至 REPL

Answer 1

问题是该算法在您想要的精度位数方面呈指数增长。为了演示，在我们得到越来越精确的结果之前，我已经稍微更改了您的代码以跟踪迭代次数

decimal curr = 4m, 
prev = 0m,
one = -1m,
den = 3.0m;

int i = 0;
decimal epsilon = 1;

while(true)
{
  prev = curr;
  curr += 4.0m * one / den;
  one = -one;
  den += 2.0m;
  
  i++;
  
  if(Math.Abs(curr - prev) <= epsilon)
  {
    Console.WriteLine(curr);
    Console.WritleLine(i);
    epsilon /= 10m;
  } 
 
}

这是达到 8 位精度后的结果输出。

3.4666666666666666666666666667
2
3.1891847822775947292439110472
20
3.1465677471829564012877876609
200
3.1420924036835276076022995132
2000
3.1416426510898869869000847891
20000
3.1415976535647933322124871234
200000
3.1415931535895432385563933310
2000000
3.1415927035897907384627370503
20000000
3.1415926585897932134626435385
200000000

如您所见，每个额外的精度数字需要 10 倍的迭代次数，因此 15 个数字将花费 10,000,000 次，只要它得到 8 个数字。

Answer 2

根据公式，

|cur - prev| = 1 / (2n+1) + 1 / (2n-1)

你的函数应该可以正常工作，你只需要等到第 250,000,000,000,000 个任期。有点耐心（只有几天）。

但不能保证你最后得到15个准确的数字。

永远不要使用莱布尼茨的公式。使用 Machin 的变体。 https://en.wikipedia.org/wiki/Machin-like_formula

为什么我计算 pi 数的函数冻结了？

Why my function that calculates pi number is freezing?

c#

numerical-methods