`arr fst` 是如何自然转换的？
How is `arr fst` a natural transformation?
我刚才问过this question。这是关于以下箭头法则：
arr fst . first f = f . arr fst -- (.) :: Category k => k b c -> k a b -> k a c
在post下的评论Asad Saeeduddin explained it in terms of natural transformations. I would like to check whether I got their explanation right and compare it a bit to Bartosz Milewski's article on natural transformations.
所以，自然变换的定义是：
我们有两个类别 C 和 D 以及仿函数 F, G : C ~> D。自然变换 α 是 D 中的一系列箭头，使得：
- 这些箭头从
F 的结果指向 G 的结果。也就是说，对于 C 中的每个对象 a，都存在一个箭头（在 a 处称为 α 的 组件）α_a :: F a ~> G a.
- 对于每个
f :: a ~> b、a 和 b 作为 C 中的对象，拥有：Gf . α_a = α_b . Ff。这就是自然。
基本上，我们需要弄清楚在我们的例子中有四个变量：C、D、F 和 G。
据我所知：
C和D是同一类任意类型，k a b是其中的箭头，其中k是Arrow 我们正在使用的实例。因此，F 和 G 是内函子。
F 是 (, c) 而 G 是 Identity。换句话说，如果我们不再使用类型，我们将 F 映射到 first，将 G 映射到 id。 NOT 考虑类型可能会更容易，因为 Category 和 Arrow 类 帮助我们构建类别的箭头，而不是对象
这样对吗？
此外，Bartosz Milewski wrote those ideas down这样的：
fmap f . alpha = alpha . fmap f
据我所知，我们需要一个更通用的形式来满足我们的目的，因为这里 alpha :: forall a. F a -> G a 仅将 Hask 作为其工作的类别进行处理。还是我错了？ fmap在这张照片中有什么地方？
您无需担心额外的类别，因为 arr fst 不涉及任意 Arrow，只是它的 (,) 个实例。
在Haskell中，f a -> g a类型的函数对于某些函子f和c是自然变换。在 arr fst :: (b -> c) -> (b, c) 的情况下，让 f ~ (->) b 和 g ~ (,) b.
As far as I get it:
C and D are the same category of arbitrary types, k a b being arrows in it, where k is the Arrow instance we are working with.
Therefore, F and G are endofunctors.
F is (, c) and G is Identity. In other words, if we no longer work with types, we map F with first and G with id.
[...]
是的，就是这样。 arr fst :: k (b, c) b 中 k 和 c 的每个选择都为我们提供了 (, c) 内函子和 k 范畴中的恒等函子之间的自然转换。进行特化后，我们得到了一个看起来更像自然变换的签名：
arr @K (fst @_ @C) :: forall b. K (b, C) b
Moreover, Bartosz Milewski wrote those ideas
down
like that:
fmap f . alpha = alpha . fmap f
As far as I get it, we need a more general form for our purposes as
here alpha :: forall a. F a -> G a deals with Hask only as the
category it works with. Or am I wrong? Which place does fmap have in
this picture?
也正确。 fmap 必须用所涉及函子的适当态射映射替换。在你的例子中，这些恰好是 first 和 id，正如你之前注意到的那样，这让我们回到了我们开始的箭头法则。
（至于替换fmap，Functor的方法从特定的函子态射映射中抽象出来，用一个更一般的类比，这需要做出适当的安排，以便我们可以表达涉及的函子Haskell 代码中的非 Hask 类别。您可能想看看 constrained-categories and data-category 如何处理它。）
我刚才问过this question。这是关于以下箭头法则：
arr fst . first f = f . arr fst -- (.) :: Category k => k b c -> k a b -> k a c
在post下的评论Asad Saeeduddin explained it in terms of natural transformations. I would like to check whether I got their explanation right and compare it a bit to Bartosz Milewski's article on natural transformations.
所以，自然变换的定义是：
我们有两个类别 C 和 D 以及仿函数 F, G : C ~> D。自然变换 α 是 D 中的一系列箭头，使得：
- 这些箭头从
F的结果指向G的结果。也就是说，对于C中的每个对象a，都存在一个箭头（在a处称为α的 组件）α_a :: F a ~> G a. - 对于每个
f :: a ~> b、a和b作为C中的对象，拥有：Gf . α_a = α_b . Ff。这就是自然。
基本上，我们需要弄清楚在我们的例子中有四个变量：C、D、F 和 G。
据我所知：
C和D是同一类任意类型，k a b是其中的箭头，其中k是Arrow我们正在使用的实例。因此，F和G是内函子。F是(, c)而G是Identity。换句话说，如果我们不再使用类型，我们将F映射到first，将G映射到id。 NOT 考虑类型可能会更容易，因为Category和Arrow类 帮助我们构建类别的箭头，而不是对象
这样对吗？
此外，Bartosz Milewski wrote those ideas down这样的：
fmap f . alpha = alpha . fmap f
据我所知，我们需要一个更通用的形式来满足我们的目的，因为这里 alpha :: forall a. F a -> G a 仅将 Hask 作为其工作的类别进行处理。还是我错了？ fmap在这张照片中有什么地方？
您无需担心额外的类别，因为 arr fst 不涉及任意 Arrow，只是它的 (,) 个实例。
在Haskell中，f a -> g a类型的函数对于某些函子f和c是自然变换。在 arr fst :: (b -> c) -> (b, c) 的情况下，让 f ~ (->) b 和 g ~ (,) b.
As far as I get it:
CandDare the same category of arbitrary types,k a bbeing arrows in it, wherekis theArrowinstance we are working with. Therefore,FandGare endofunctors.
Fis(, c)andGisIdentity. In other words, if we no longer work with types, we mapFwithfirstandGwithid. [...]
是的，就是这样。 arr fst :: k (b, c) b 中 k 和 c 的每个选择都为我们提供了 (, c) 内函子和 k 范畴中的恒等函子之间的自然转换。进行特化后，我们得到了一个看起来更像自然变换的签名：
arr @K (fst @_ @C) :: forall b. K (b, C) b
Moreover, Bartosz Milewski wrote those ideas down like that:
fmap f . alpha = alpha . fmap fAs far as I get it, we need a more general form for our purposes as here
alpha :: forall a. F a -> G adeals with Hask only as the category it works with. Or am I wrong? Which place doesfmaphave in this picture?
也正确。 fmap 必须用所涉及函子的适当态射映射替换。在你的例子中，这些恰好是 first 和 id，正如你之前注意到的那样，这让我们回到了我们开始的箭头法则。
（至于替换fmap，Functor的方法从特定的函子态射映射中抽象出来，用一个更一般的类比，这需要做出适当的安排，以便我们可以表达涉及的函子Haskell 代码中的非 Hask 类别。您可能想看看 constrained-categories and data-category 如何处理它。）