使用 Eigen - 如何求解具有零列的稀疏 (SPD) 线性系统？

Question

（我正在使用 Eigen C++ 库）

我需要求解形式为 Ax = 0 的方程组，以便找到 x 向量（A 是稀疏的）。

编辑： A 是 SPD（对称正定）

因为某些 x 值是已知的，所以我将它们从 A 中移除以创建 Af 并放入另一个矩阵 Ac 中，其维度与 A 相同，并将 -Ac 与具有已知 x 值和所有其他位置零的向量相乘以创建向量 b.

现在我尝试使用 SparseLU<SparseMatrix<float>> 求解 Af * x = b，但它失败了，因为分解不起作用。我收到此错误：

THE MATRIX IS STRUCTURALLY SINGULAR ... ZERO COLUMN AT 480

为什么我的列为零是个问题？零行肯定是个问题，但零列呢？我只是改变了这样的东西：

x_1 + x_2 = 0

x_2 = 3

至

x_1 + 0 = -3

解决方案是 x_1 = -3 & x_2 = 3，即使我将方程式放入矩阵中也会得到零列。

我该如何解决这个问题？

Answer 1

我的线性代数有点生疏

为了使矩阵具有唯一解，矩阵的秩需要与维数相同。如果您有一个零列，那么排名将比维度少一，并且您有一个自由变量。

如果您正在尝试解决 Ax = 0 那么它就是您所追求的 null space，请尝试查看此。

Answer 2

Why is it a problem that I have a zero column?

因为这意味着您的方程式忽略了未知数向量的一个分量，这导致解为 non-unique（被忽略的未知数的任何值都可以满足方程式）。

Because some of the x values are known, I removed them out of A to create Af and into another matrix Ac with the same dimensions as A, and multiplied -Ac with a vector that has the known x values and zeros in all other places to create a vector b.

我不确定您是如何从矩阵中删除 x 值的。它们不是矩阵的组成部分，因此无法删除。但如果确实已知，就应该代入到方程组中，然后从矩阵中去掉相应的列，再去掉多余的行，使矩阵成为方阵。

例如假设您将 A 和 b 定义如下：

    ⎛1 2 3⎞
A = ⎜2 4 5⎟,
    ⎝3 5 6⎠
b = (3,-5,8)ᵀ,

你的等式是

Ax=b.

设x₂为-32。我们可以代入它，得到以下等式：

A'x'+c=b,

哪里

     ⎛1 3⎞
A' = ⎜2 5⎟,
     ⎝3 6⎠
x' = (x₁,x₃)ᵀ,
c = (-64,-128,-160)ᵀ.

c 这里是 A 的第二列与 x₂ 的乘积。将 c 移动到 RHS 以在那里产生 k=b-c 后，您将得到一个过度确定（尽管一致）的系统

A'x'=k,

所以您应该从 A 中删除其中一行，并从 k 中删除同一行。例如。删除最后一行将得到等式

A"x'=k',

哪里

     ⎛1 3⎞
A" = ⎝2 5⎠,
k' = (67,123)ᵀ,

其解为x'=(x₁,x₃)ᵀ=(34,11)ᵀ。这个方程可以使用与方矩阵一起工作的常用线性求解器来求解。

Answer 3

你给定了“A”和“b = 0”，并且知道 A 是对称正定的。因为 A 是 spd，所以它没有非平凡的 null-space（这是一个重要的属性）。也就是说，唯一存在使得 Ax = b = 0 的“x”是 x = 0.

因此，如果给定非零值，您将找不到解决方案。它永远是 x = 0。我这样说是为了强调 Eigen 不能解决问题，顺便说一句。

使用 Eigen - 如何求解具有零列的稀疏 (SPD) 线性系统？

Using Eigen - how to solve sparse (SPD) linear systems with zero columns?

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