如何用 scipy 计算单侧公差区间

Question

我想根据已知 N（样本大小）、标准差和平均值的数据集的正态分布计算单侧公差界限。

如果间隔是双向的，我会执行以下操作：

conf_int = stats.norm.interval(alpha, loc=mean, scale=sigma)

在我的情况下，我正在引导示例，但如果不是，我会在 Whosebug 上参考此 post：并使用以下内容：conf_int = stats.norm.interval(0.68, loc=mean, scale=sigma / np.sqrt(len(a)))

你会如何做同样的事情，但要将其计算为单边边界（95% 的值高于或低于 x<--bound）？

Answer 1

我假设您有兴趣使用正态分布计算 one-side 公差界限（基于您提到 scipy.stats.norm.interval 函数作为您需要的 two-sided 等价物这一事实） .

那么好消息是，基于 tolerance interval Wikipedia page:

One-sided normal tolerance intervals have an exact solution in terms of the sample mean and sample variance based on the noncentral t-distribution.

（仅供参考：不幸的是，two-sided 设置并非如此）

此断言基于this paper。此外第 4.8 段（第 23 页）提供了公式。

坏消息是，我认为没有 ready-to-use scipy 函数可以安全地调整并用于您的目的。

但是你可以很容易地自己计算出来。您可以在 Github 存储库中找到包含此类计算器的存储库，您可以从中找到灵感，例如 that one 我从中构建了以下说明性示例：

import numpy as np
from scipy.stats import norm, nct

# sample size
n=1000

# Percentile for the TI to estimate
p=0.9
# confidence level
g = 0.95

# a demo sample
x = np.array([np.random.normal(100) for k in range(n)])

# mean estimate based on the sample
mu_est = x.mean()

# standard deviation estimated based on the sample
sigma_est = x.std(ddof=1)

# (100*p)th percentile of the standard normal distribution
zp = norm.ppf(p)

# gth quantile of a non-central t distribution
# with n-1 degrees of freedom and non-centrality parameter np.sqrt(n)*zp
t = nct.ppf(g, df=n-1., nc=np.sqrt(n)*zp)

# k factor from Young et al paper
k = t / np.sqrt(n)

# One-sided tolerance upper bound
conf_upper_bound = mu_est + (k*sigma_est)

Answer 2

这是一个使用 openturns 库的 one-line 解决方案，假设您的数据是一个名为 sample.

的 numpy 数组

import openturns as ot
ot.NormalFactory().build(sample.reshape(-1, 1)).computeQuantile(0.95)

让我们打开包装。 NormalFactory 是一个 class 设计用于拟合给定样本的正态分布参数（mu 和 sigma） : NormalFactory() 创建此 class.

的一个实例

方法 build 进行实际拟合，returns class Normal 的对象表示参数为 mu[ 的正态分布=44=] 和 sigma 从样本估计。

sample 整形是为了确保 OpenTURNS 理解输入 sample 是 one-dimension 点的集合，而不是单个 multi-dimensional 点。

然后 class Normal 提供方法 computeQuantile 来计算分布的任何分位数（本例中为第 95 个百分位数）。

此解决方案不计算精确的公差界限，因为它使用正态分布的分位数而不是学生 t-distribution。实际上，这意味着它忽略了 mu 和 sigma 上的估计误差。实际上，这只是样本量非常小的问题。

为了说明这一点，这里比较了标准正态 N(0,1) 分布的 PDF 和具有 19 个自由度的学生 t-distribution 的 PDF（这意味着样本量为20).他们几乎无法区分。

deg_freedom = 19 graph = ot.Normal().drawPDF() student = ot.Student(deg_freedom).drawPDF().getDrawable(0) student.setColor('blue') graph.add(student) graph.setLegends(['Normal(0,1)', 't-dist k={}'.format(deg_freedom)]) graph

如何用 scipy 计算单侧公差区间

How to calculate one-sided tolerance interval with scipy

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