给定等边三角形的 2D 角坐标的 3D 法向量

Question

我对给定等边三角形角的 3 2D projection/pixel 坐标找到平面的法向量很感兴趣。

我必须修改我的实际用例，因为我不允许分享细节：在我的用例中，我有一张等边三角形的海报固定在墙上。我可以检测像素坐标中的 3 个角，并想计算直接从墙上出来的三角形的法向量。

我的直觉是应该有一个分析解决方案，我发现了类似的问题，但未能将它们应用到我的用例中。以下是我的一些想法：

我想通过添加一个填充零的第三维将其置于 XY 平面上，从而将 2D 像素坐标变为 3D。对边长为 1 的参考三角形执行相同的操作，可以为我提供找到它们的单应性的来源和目的地。但是因为所有 6 个 z 值都是 0，所以我认为这行不通。
我知道所有 3 个点之间的距离在 3D 中是相同的，我想将其用作解决问题的约束。
法线可以通过取三角形两条边的叉积在 3D 中计算
使用 openCV 的 findHomography() 函数需要至少 4 个 3D 点来解决，我不相信我可以只取像素 space 中的 3 个点的平均坐标来找到找到中心（又名第 4 个点），正确吗？

openCV 还附带了一个 getAffineTransform() 函数，它适用于 3 对 2D 点。我试过这样使用它：

# equilateral reference triangle
tri_ref = np.array([
  [0.0,0.0],
  [0.5,0.866],
  [1.0,0.0]
], dtype=np.float32)

# detected corners in pixel space
tri_pixel = np.array([
    [0.397,0.317],
    [0.441,0.848],
    [0.698,0.324]
], dtype=np.float32)

A = cv2.getAffineTransform(tri_pixel, tri_ref)

img2 = cv2.warpAffine(img1, A, (400,300))

但是，转换看起来完全错误，我仍然需要知道如何从转换矩阵计算法线。

Answer 1

您无法从三个 2D 点真正获得 100% 正确的 3D 法向量。

例如，让我们考虑一个针孔相机系统，从一个点到相机画一条线，然后在我们画的线上随机选择另一个点，你仍然会得到与选择的点相同的图像。
如果我们加上三个点之间的距离相同的条件，你可能仍然有最多4个向量的可能答案（想象两个固定点，最后一个点与两个固定点距离相同的可能位置点将是一个圆圈，从相机开始画一条线来附加圆圈，如果你穿过圆圈比最后一个点有两个可能的位置，唯一的条件只有一个位置是真实的是线是圆的切线，但大多数时候不会发生这种情况，改变固定点，这样我们最多可以有 4 个可能的三点位置）

您不能仅通过取 3 个点的平均坐标来添加第 4 个点，因为您不知道质心投影到图像平面的实际位置。

给定等边三角形的 2D 角坐标的 3D 法向量

3D normal vector given 2D corner coordinates of an equilateral triangle

python

opencv

transformation

perspective

homography