使用具有未知常数项的二次函数，如何使用梯度下降找到这些未知常数？

Question

大家。

我是机器学习的初学者，现在开始学习梯度下降。但是，我遇到了一个大问题。下面的问题是这样的：

given numbers [0,0],[1,1],[1,2],[2,1] and 
 equation will be [ f=(a2)*x^2 + (a1)*x + a0 ]

通过手解，我得到了答案[-1,5/2,0] 但是很难通过使用这些给定数据制作具有梯度下降的 python 代码来找到解决方案。

就我而言，我尝试使用梯度下降法以最简单和最快的方式编写代码，例如：

learningRate = 0.1

make **a series of number of x

initialize given 1,1,1 for a2,a1,a0

partial derivative for a2,a1,a0 (a2_p:2x, a1_p:x, a0_p:1)

gradient descent method : (ex) a2 = a2 - (learningRate)( y - [(a2)*x^2 + (a1)*x + a0] )(a2_p)

ps。老实说，我不知道我应该放什么 'x' and 'y' or a2, a1, a0.

但是，我每次都得到不同结果的错误答案。所以，我想获得正确方程式或代码序列的提示。

感谢您阅读我的最低级别问题。

Answer 1

你的方程式有一些错误

对于函数 f(x) = a2*x^2+a1*x+a0，a2、a1和a0的偏导数是x^2 , x 和 1, 分别.

假设成本函数是(1/2)*(y-f(x))^2

成本函数对ai的偏导数是-(y-f(x))* partial derivative of f(x) for ai，其中i属于[0,2]

所以，梯度下降方程是：
ai = ai + learning_rate*(y-f(x)) * partial derivative of f(x) for ai，其中 i 属于 [0,2]

我希望这个代码对您有所帮助

#Training sample
sample = [(0,0),(1,1),(1,2),(2,1)]

#Our function => a2*x^2+a1*x+a0
class Function():
    def __init__(self, a2, a1, a0):
        self.a2 = a2
        self.a1 = a1
        self.a0 = a0
    
    def eval(self, x):
        return self.a2*x**2+self.a1*x+self.a0
    
    def partial_a2(self, x):
        return x**2
    
    def partial_a1(self, x):
        return x
    
    def partial_a0(self, x):
        return 1

#Initialise function
f = Function(1,1,1)

#To Calculate loss from the sample
def loss(sample, f):
    return sum([(y-f.eval(x))**2 for x,y in sample])/len(sample)

epochs = 100000
lr = 0.0005
#To record the best values
best_values = (0,0,0)

for epoch in range(epochs):
    min_loss = 100
    for x, y in sample:
       #Gradient descent
       f.a2 = f.a2+lr*(y-f.eval(x))*f.partial_a2(x)
       f.a1 = f.a1+lr*(y-f.eval(x))*f.partial_a1(x)
       f.a0 = f.a0+lr*(y-f.eval(x))*f.partial_a0(x)
    
    #Storing the best values
    epoch_loss = loss(sample, f)
    if min_loss > epoch_loss:
        min_loss = epoch_loss
        best_values = (f.a2, f.a1, f.a0)
       
print("Loss:", min_loss)
print("Best values (a2,a1,a0):", best_values)

输出:

Loss: 0.12500004789165717
Best values (a2,a1,a0): (-1.0001922562970325, 2.5003368582261487, 0.00014521557599919338)

使用具有未知常数项的二次函数，如何使用梯度下降找到这些未知常数？

Using quadratic function with unknown constant term, How can i find these unknown constant using gradient descent?

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