什么是 monad 范畴的函子？

Question

Note, this question is not about "monoids in the category of endofunctors". Nor is it directly about Functors (a Monad is always a Functor, but this question is concerned mainly about monad transformers)

Haskell 的 SelectT monad 转换器上的 docs 指出

SelectT is not a functor on the category of monads, and many operations cannot be lifted through it.

单子类别是什么？该类别中的箭头是什么？
为什么有些 monad transformers 函子属于 monad 类别（MaybeT、RWST 等），而有些则不是（ContT、SelectT）？
从编程的角度来看，作为 monad 范畴的函子有什么好处？作为图书馆的消费者，我为什么要关心？

Answer 1

What's the category of monads? What are the arrows in that category?

对象是 monad 的类别，即 Type -> Type 类型 T 具有 Monad 个实例，箭头 A -> B 是 它们的底层函子之间的自然变换，通常在Haskell中由forall x. A x -> B x类型的函数表示（尽管严格来说参数化是比自然性更强的条件）。

mmorph 包中有一个实现。

此类别中的初始对象是 Identity，因为对于任何 monad T 都有一个自然变换 forall x. Identity x -> T x。双重地，我认为最终对象是 Const ().

Why are some monad transformers functors on the category of monads (MaybeT, RWST, etc), but some not (ContT, SelectT)?

此类别中的函子需要提升 fmap:

fmap'
  :: forall m n. (Monad m, Monad n)
  => (forall x. m x -> n x) -> forall x. T m x -> T n x

并且您不能对 ContT 和 SelectT 通常实施此操作。我不确定为什么，但这似乎取决于方差：我们正在尝试实现 covariant 函子，但是 ContT 和 SelectT 是 invariant 在它们的底层 monad 中，例如，m 在 ContT r m a 中的 (a -> m r) -> m r 中既有积极的也有消极的出现。

What good does it do, from a programming perspective, to be a functor on the category of monads? Why should I care as a consumer of the library?

如果你有一个通用的方法来在 monad n 中“运行” monad m，你不一定要把它提升到 ContT 或 SelectT;你遇到了像这样更受限制的映射操作：

mapSelectT :: (m a -> m a) -> SelectT r m a -> SelectT r m a
mapContT   :: (m r -> m r) -> ContT   r m a -> ContT   r m a

底层 monad 和结果类型是固定的。因此，您不能总是在使用这些转换器的堆栈中自由提升操作。

什么是 monad 范畴的函子？

What's a functor on the category of monads?

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