仅使用单精度浮点数逼近 [0,pi] 上的余弦
Approximating cosine on [0,pi] using only single precision floating point
我目前正在研究余弦的近似值。由于最终目标设备是使用 32 位浮点 ALU / LU 的自行开发，并且有专门的 C 编译器，我无法使用 c 库数学函数（cosf，...）。我的目标是编写各种在准确性和指令/周期数方面不同的方法。
我已经尝试了很多不同的近似算法，从fdlibm开始，泰勒展开，pade近似，使用maple的remez算法等等....
但是，一旦我仅使用浮点精度实现它们，精度就会显着降低。请确定：我知道使用双精度，更高的精度根本没问题...
现在，我有一些近似值，精确到 pi/2 几千 ulp（发生最大误差的范围），我觉得我受到单精度转换的限制。
为了解决主题参数减少问题：输入以弧度为单位。我假设参数减少会由于除法/乘法而导致更多的精度损失....因为我的总输入范围只有 0..pi，我决定将参数减少到 0..pi/2.
因此我的问题是：有人知道余弦函数的高精度（最好情况下是高效率）的单精度逼近吗？是否有任何算法可以优化单精度的近似值？您知道内置的 cosf 函数是否在内部以单精度或双精度计算值吗？
~
float ua_cos_v2(float x)
{
float output;
float myPi = 3.1415927410125732421875f;
if (x < 0) x = -x;
int quad = (int32_t)(x*0.63661977236f);//quad = x/(pi/2) = x*2/pi
if (x<1.58f && x> 1.57f) //exclude approximation around pi/2
{
output = -(x - 1.57079637050628662109375f) - 2.0e-12f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f) + 0.16666667163372039794921875f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f) + 2.0e-13f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)+ 0.000198412701138295233249664306640625f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f);
output -= 4.37E-08f;
}
else {
float param_x;
int param_quad = -1;
switch (quad)
{
case 0:
param_x = x;
break;
case 1:
param_x = myPi - x;
param_quad = 1;
break;
case 2:
param_x = x - myPi;
break;
case 3:
param_x = 2 * myPi - x;
break;
}
float c1 = 1.0f,
c2 = -0.5f,
c3 = 0.0416666679084300994873046875f,
c4 = -0.001388888922519981861114501953125f,
c5 = 0.00002480158218531869351863861083984375f,
c6 = -2.75569362884198199026286602020263671875E-7f,
c7 = 2.08583283978214240050874650478363037109375E-9f,
c8 = -1.10807162057025010426514199934899806976318359375E-11f;
float _x2 = param_x * param_x;
output = c1 + _x2*(c2 + _x2*(c3 + _x2*(c4 + _x2*(c5 + _x2*(c6 + _x2*(c7
+ _x2* c8))))));
if (param_quad == 1 || param_quad == 0)
output = -output;
}
return output;
}
~
如果我忘记了任何信息，请随时询问！
提前致谢
当然可以仅使用本机精度运算来计算 [0, π] 上的余弦，任何所需的误差界限 >= 0.5 ulp。但是，目标越接近正确舍入的函数，运行时需要的 up-front 设计工作和计算工作就越多。
超越函数实现通常包括参数缩减、核心近似、最终修复以抵消参数缩减。在参数减少涉及减法的情况下，需要通过显式或隐式使用更高的精度来避免灾难性的取消。隐式技术可以设计为仅依赖于本机精度计算，例如，在使用 IEEE-754 binary32（单精度）时，将常量 π 拆分为未计算的总和，例如 1.57079637e+0f - 4.37113883e-8f。[=21] =]
当硬件提供融合 multiply-add (FMA) 操作时，通过本机精度计算实现高精度要容易得多。 OP 没有指定他们的目标平台是否提供此操作，因此我将首先展示一种非常简单的方法，仅依靠乘法和加法提供中等精度（最大误差 < 5 ulps）。我假设硬件符合 IEEE-754 标准，并假设 float 映射到 IEEE-754 binary32 格式。
以下内容基于 Colin Wallace 的博客 post，标题为“使用 Chebyshev 多项式将 sin(x) 近似为 5 ULP”，撰写本文时无法在线获取。我最初检索它 here and Google presently retains a cached copy here。他们建议通过使用 sin(x)/(x*(x²-π²)) 的 x² 中的多项式来近似 [-π, π] 上的正弦，然后将其乘以 x*(x²-π²)。更准确地计算 a²-b² 的标准技巧是将其重写为 (a-b) * (a+b)。将 π 表示为两个 floating-point 数字 pi_high 和 pi_low 的未计算总和避免了减法期间的灾难性取消，这将计算 x²-π² 变成 ((x - pi_hi) - pi_lo) * ((x + pi_hi) + pi_lo).
多项式核心近似最好使用极小极大近似，min最小化 maximum 误差。我在这里这样做了。可以为此使用 Maple 或 Mathematics 等各种标准工具，或者根据 Remez 算法创建自己的代码。
对于 [0, PI] 的余弦计算，我们可以利用 cos (t) = sin (π/2 - t) 这一事实。将 x = (π/2 - t) 代入 x * (x - π/2) * (x + π/2) 产生 (π/2 - t) * (3π/2 - t) * (-π/2 -t).常量可以像以前一样分为高低部分（或头和尾，使用另一个常见的习语）。
/* Approximate cosine on [0, PI] with maximum error of 4.704174 ulp */
float cosine (float x)
{
const float half_pi_hi = 1.57079637e+0f; // 0x1.921fb6p+0
const float half_pi_lo = -4.37113883e-8f; // -0x1.777a5cp-25
const float three_half_pi_hi = 4.71238899e+0f; // 0x1.2d97c8p+2
const float three_half_pi_lo = -1.19248806e-8f; // -0x1.99bc5cp-27
float p, s, hpmx, thpmx, nhpmx;
/* cos(x) = sin (pi/2 - x) = sin (hpmx) */
hpmx = (half_pi_hi - x) + half_pi_lo; // pi/2-x
thpmx = (three_half_pi_hi - x) + three_half_pi_lo; // 3*pi/2 - x
nhpmx = (-half_pi_hi - x) - half_pi_lo; // -pi/2 - x
/* P(hpmx*hpmx) ~= sin (hpmx) / (hpmx * (hpmx * hpmx - pi * pi)) */
s = hpmx * hpmx;
p = 1.32729383e-10f;
p = p * s - 2.33177868e-8f;
p = p * s + 2.52223435e-6f;
p = p * s - 1.73503853e-4f;
p = p * s + 6.62087463e-3f;
p = p * s - 1.01321176e-1f;
return hpmx * nhpmx * thpmx * p;
}
下面我展示了一种经典的方法，它首先在记录象限时将参数减少为 [-π/4, π/4]。然后象限告诉我们是否需要在这个主要近似区间上计算正弦或余弦的多项式近似，以及我们是否需要翻转最终结果的符号。此代码假定目标平台支持 IEEE-754 指定的 FMA 操作，并且它通过标准 C 函数 fmaf() 映射为单精度。
除了用于计算象限的舍入模式 float-to-int 转换 to-nearest-or-even 外，代码很简单，它由“幻数加法”方法执行并与乘法相结合2/π（相当于除以 π/2）。最大误差小于1.5 ulps。
/* compute cosine on [0, PI] with maximum error of 1.429027 ulp */
float my_cosf (float a)
{
const float half_pi_hi = 1.57079637e+0f; // 0x1.921fb6p+0
const float half_pi_lo = -4.37113883e-8f; // -0x1.777a5cp-25
float c, j, r, s, sa, t;
int i;
/* subtract closest multiple of pi/2 giving reduced argument and quadrant */
j = fmaf (a, 6.36619747e-1f, 12582912.f) - 12582912.f; // 2/pi, 1.5 * 2**23
a = fmaf (j, -half_pi_hi, a);
a = fmaf (j, -half_pi_lo, a);
/* phase shift of pi/2 (one quadrant) for cosine */
i = (int)j;
i = i + 1;
sa = a * a;
/* Approximate cosine on [-PI/4,+PI/4] with maximum error of 0.87444 ulp */
c = 2.44677067e-5f; // 0x1.9a8000p-16
c = fmaf (c, sa, -1.38877297e-3f); // -0x1.6c0efap-10
c = fmaf (c, sa, 4.16666567e-2f); // 0x1.555550p-5
c = fmaf (c, sa, -5.00000000e-1f); // -0x1.000000p-1
c = fmaf (c, sa, 1.00000000e+0f); // 1.00000000p+0
/* Approximate sine on [-PI/4,+PI/4] with maximum error of 0.64196 ulp */
s = 2.86567956e-6f; // 0x1.80a000p-19
s = fmaf (s, sa, -1.98559923e-4f); // -0x1.a0690cp-13
s = fmaf (s, sa, 8.33338592e-3f); // 0x1.111182p-7
s = fmaf (s, sa, -1.66666672e-1f); // -0x1.555556p-3
t = a * sa;
s = fmaf (s, t, a);
/* select sine approximation or cosine approximation based on quadrant */
r = (i & 1) ? c : s;
/* adjust sign based on quadrant */
r = (i & 2) ? (0.0f - r) : r;
return r;
}
事实证明，在这种特殊情况下，使用 FMA 仅在准确性方面提供了很小的好处。如果我用 ((a)*(b)+(c)) 替换对 fmaf(a,b,c) 的调用，最大误差将最小增加到 1.451367 ulps，也就是说，它保持在 1.5 ulps 以下。
我看到@njuffa 有一个很好的方法，但想提出另一种方法：
- 角度最初可能是度数，而不是弧度，请充分利用这一点。
- 不依赖于
float 是 IEEE。
- fma 可能是
，所以不要使用它。
使用整数数学进行范围缩减，然后通过自调整泰勒级数找到答案。
#include <assert.h>
static float my_sinf_helper(float xx, float term, unsigned n) {
if (term + 1.0f == 1.0f) {
return term;
}
return term - my_sinf_helper(xx, xx * term / ((n + 1) * (n + 2)), n + 2);
}
static float my_cosf_helper(float xx, float term, unsigned n) {
if (term + 1.0f == 1.0f) {
return term;
}
return term - xx * my_cosf_helper(xx, term / ((n + 1) * (n + 2)), n + 2);
}
// valid for [-pi/4 + pi/4]
static float my_sinf_primary(float x) {
return x * my_sinf_helper(x * x, 1.0, 1);
}
// valid for [-pi/4 + pi/4]
static float my_cosf_primary(float x) {
return my_cosf_helper(x * x, 1.0, 0);
}
#define MY_PIf 3.1415926535897932384626433832795f
#define D2Rf(d) ((d)*(MY_PIf/180))
float my_cosdf(float x) {
if (x < 0) {x = -x;}
unsigned long long ux = (unsigned long long) x;
x -= (float) ux;
unsigned ux_primary = ux % 360u;
int uxq = ux_primary%90;
if (uxq >= 45) uxq -= 90;
x += uxq;
switch (ux_primary/45) {
case 7: //
case 0: return my_cosf_primary(D2Rf(x));
case 1: //
case 2: return -my_sinf_primary(D2Rf(x));
case 3: //
case 4: return -my_cosf_primary(D2Rf(x));
case 5: //
case 6: return my_sinf_primary(D2Rf(x));
}
assert(0);
return 0;
}
测试代码
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define DBL_FMT "%+24.17e"
typedef struct {
double x, y0, y1, adiff;
unsigned n;
} test;
test worst = {0};
int my_cosd_test(float x) {
test t;
t.x = x;
t.y0 = cos(x*acos(-1)/180);
t.y1 = my_cosdf(x);
t.adiff = fabs(t.y1 - t.y0);
if (t.adiff > worst.adiff) {
t.n = worst.n + 1;
printf("n:%3u x:" DBL_FMT " y0:" DBL_FMT " y1:" DBL_FMT " d:" DBL_FMT "\n", //
t.n, t.x, t.y0, t.y1, t.adiff);
fflush(stdout);
worst = t;
if (t.n > 100)
exit(-1);
}
return t.adiff != 0.0;
}
float rand_float_finite(void) {
union {
float f;
unsigned char uc[sizeof(float)];
} u;
do {
for (size_t i = 0; i < sizeof u.uc / sizeof u.uc[0]; i++) {
u.uc[i] = (unsigned char) rand();
}
} while (!isfinite(u.f) || fabs(u.f) > 5000);
return u.f;
}
int my_cosd_tests(unsigned n) {
my_cosd_test(0.0);
for (unsigned i = 0; i < n; i++) {
my_cosd_test(rand_float_finite());
}
return 0;
}
int main(void) {
my_cosd_tests(1000000);
}
最差投射错误：+8.2e-08。最大递归深度注释：6.
n: 14 x:+3.64442993164062500e+03 y0:+7.14107074054115110e-01 y1:+7.14107155799865723e-01 d:+8.17457506130381262e-08
我稍后再评论。我确实看到更广泛的测试达到了大约 9e-08 最坏情况错误和 x > about 1e10.
的一些待定问题
我目前正在研究余弦的近似值。由于最终目标设备是使用 32 位浮点 ALU / LU 的自行开发，并且有专门的 C 编译器，我无法使用 c 库数学函数（cosf，...）。我的目标是编写各种在准确性和指令/周期数方面不同的方法。
我已经尝试了很多不同的近似算法，从fdlibm开始，泰勒展开，pade近似，使用maple的remez算法等等....
但是，一旦我仅使用浮点精度实现它们，精度就会显着降低。请确定：我知道使用双精度，更高的精度根本没问题...
现在，我有一些近似值，精确到 pi/2 几千 ulp（发生最大误差的范围），我觉得我受到单精度转换的限制。
为了解决主题参数减少问题：输入以弧度为单位。我假设参数减少会由于除法/乘法而导致更多的精度损失....因为我的总输入范围只有 0..pi，我决定将参数减少到 0..pi/2.
因此我的问题是：有人知道余弦函数的高精度（最好情况下是高效率）的单精度逼近吗？是否有任何算法可以优化单精度的近似值？您知道内置的 cosf 函数是否在内部以单精度或双精度计算值吗？ ~
float ua_cos_v2(float x)
{
float output;
float myPi = 3.1415927410125732421875f;
if (x < 0) x = -x;
int quad = (int32_t)(x*0.63661977236f);//quad = x/(pi/2) = x*2/pi
if (x<1.58f && x> 1.57f) //exclude approximation around pi/2
{
output = -(x - 1.57079637050628662109375f) - 2.0e-12f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f) + 0.16666667163372039794921875f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f) + 2.0e-13f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)+ 0.000198412701138295233249664306640625f*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f)*(x - 1.57079637050628662109375f);
output -= 4.37E-08f;
}
else {
float param_x;
int param_quad = -1;
switch (quad)
{
case 0:
param_x = x;
break;
case 1:
param_x = myPi - x;
param_quad = 1;
break;
case 2:
param_x = x - myPi;
break;
case 3:
param_x = 2 * myPi - x;
break;
}
float c1 = 1.0f,
c2 = -0.5f,
c3 = 0.0416666679084300994873046875f,
c4 = -0.001388888922519981861114501953125f,
c5 = 0.00002480158218531869351863861083984375f,
c6 = -2.75569362884198199026286602020263671875E-7f,
c7 = 2.08583283978214240050874650478363037109375E-9f,
c8 = -1.10807162057025010426514199934899806976318359375E-11f;
float _x2 = param_x * param_x;
output = c1 + _x2*(c2 + _x2*(c3 + _x2*(c4 + _x2*(c5 + _x2*(c6 + _x2*(c7
+ _x2* c8))))));
if (param_quad == 1 || param_quad == 0)
output = -output;
}
return output;
}
~
如果我忘记了任何信息，请随时询问！
提前致谢
当然可以仅使用本机精度运算来计算 [0, π] 上的余弦，任何所需的误差界限 >= 0.5 ulp。但是，目标越接近正确舍入的函数，运行时需要的 up-front 设计工作和计算工作就越多。
超越函数实现通常包括参数缩减、核心近似、最终修复以抵消参数缩减。在参数减少涉及减法的情况下，需要通过显式或隐式使用更高的精度来避免灾难性的取消。隐式技术可以设计为仅依赖于本机精度计算，例如，在使用 IEEE-754 binary32（单精度）时，将常量 π 拆分为未计算的总和，例如 1.57079637e+0f - 4.37113883e-8f。[=21] =]
当硬件提供融合 multiply-add (FMA) 操作时，通过本机精度计算实现高精度要容易得多。 OP 没有指定他们的目标平台是否提供此操作，因此我将首先展示一种非常简单的方法，仅依靠乘法和加法提供中等精度（最大误差 < 5 ulps）。我假设硬件符合 IEEE-754 标准，并假设 float 映射到 IEEE-754 binary32 格式。
以下内容基于 Colin Wallace 的博客 post，标题为“使用 Chebyshev 多项式将 sin(x) 近似为 5 ULP”，撰写本文时无法在线获取。我最初检索它 here and Google presently retains a cached copy here。他们建议通过使用 sin(x)/(x*(x²-π²)) 的 x² 中的多项式来近似 [-π, π] 上的正弦，然后将其乘以 x*(x²-π²)。更准确地计算 a²-b² 的标准技巧是将其重写为 (a-b) * (a+b)。将 π 表示为两个 floating-point 数字 pi_high 和 pi_low 的未计算总和避免了减法期间的灾难性取消，这将计算 x²-π² 变成 ((x - pi_hi) - pi_lo) * ((x + pi_hi) + pi_lo).
多项式核心近似最好使用极小极大近似，min最小化 maximum 误差。我在这里这样做了。可以为此使用 Maple 或 Mathematics 等各种标准工具，或者根据 Remez 算法创建自己的代码。
对于 [0, PI] 的余弦计算，我们可以利用 cos (t) = sin (π/2 - t) 这一事实。将 x = (π/2 - t) 代入 x * (x - π/2) * (x + π/2) 产生 (π/2 - t) * (3π/2 - t) * (-π/2 -t).常量可以像以前一样分为高低部分（或头和尾，使用另一个常见的习语）。
/* Approximate cosine on [0, PI] with maximum error of 4.704174 ulp */
float cosine (float x)
{
const float half_pi_hi = 1.57079637e+0f; // 0x1.921fb6p+0
const float half_pi_lo = -4.37113883e-8f; // -0x1.777a5cp-25
const float three_half_pi_hi = 4.71238899e+0f; // 0x1.2d97c8p+2
const float three_half_pi_lo = -1.19248806e-8f; // -0x1.99bc5cp-27
float p, s, hpmx, thpmx, nhpmx;
/* cos(x) = sin (pi/2 - x) = sin (hpmx) */
hpmx = (half_pi_hi - x) + half_pi_lo; // pi/2-x
thpmx = (three_half_pi_hi - x) + three_half_pi_lo; // 3*pi/2 - x
nhpmx = (-half_pi_hi - x) - half_pi_lo; // -pi/2 - x
/* P(hpmx*hpmx) ~= sin (hpmx) / (hpmx * (hpmx * hpmx - pi * pi)) */
s = hpmx * hpmx;
p = 1.32729383e-10f;
p = p * s - 2.33177868e-8f;
p = p * s + 2.52223435e-6f;
p = p * s - 1.73503853e-4f;
p = p * s + 6.62087463e-3f;
p = p * s - 1.01321176e-1f;
return hpmx * nhpmx * thpmx * p;
}
下面我展示了一种经典的方法，它首先在记录象限时将参数减少为 [-π/4, π/4]。然后象限告诉我们是否需要在这个主要近似区间上计算正弦或余弦的多项式近似，以及我们是否需要翻转最终结果的符号。此代码假定目标平台支持 IEEE-754 指定的 FMA 操作，并且它通过标准 C 函数 fmaf() 映射为单精度。
除了用于计算象限的舍入模式 float-to-int 转换 to-nearest-or-even 外，代码很简单，它由“幻数加法”方法执行并与乘法相结合2/π（相当于除以 π/2）。最大误差小于1.5 ulps。
/* compute cosine on [0, PI] with maximum error of 1.429027 ulp */
float my_cosf (float a)
{
const float half_pi_hi = 1.57079637e+0f; // 0x1.921fb6p+0
const float half_pi_lo = -4.37113883e-8f; // -0x1.777a5cp-25
float c, j, r, s, sa, t;
int i;
/* subtract closest multiple of pi/2 giving reduced argument and quadrant */
j = fmaf (a, 6.36619747e-1f, 12582912.f) - 12582912.f; // 2/pi, 1.5 * 2**23
a = fmaf (j, -half_pi_hi, a);
a = fmaf (j, -half_pi_lo, a);
/* phase shift of pi/2 (one quadrant) for cosine */
i = (int)j;
i = i + 1;
sa = a * a;
/* Approximate cosine on [-PI/4,+PI/4] with maximum error of 0.87444 ulp */
c = 2.44677067e-5f; // 0x1.9a8000p-16
c = fmaf (c, sa, -1.38877297e-3f); // -0x1.6c0efap-10
c = fmaf (c, sa, 4.16666567e-2f); // 0x1.555550p-5
c = fmaf (c, sa, -5.00000000e-1f); // -0x1.000000p-1
c = fmaf (c, sa, 1.00000000e+0f); // 1.00000000p+0
/* Approximate sine on [-PI/4,+PI/4] with maximum error of 0.64196 ulp */
s = 2.86567956e-6f; // 0x1.80a000p-19
s = fmaf (s, sa, -1.98559923e-4f); // -0x1.a0690cp-13
s = fmaf (s, sa, 8.33338592e-3f); // 0x1.111182p-7
s = fmaf (s, sa, -1.66666672e-1f); // -0x1.555556p-3
t = a * sa;
s = fmaf (s, t, a);
/* select sine approximation or cosine approximation based on quadrant */
r = (i & 1) ? c : s;
/* adjust sign based on quadrant */
r = (i & 2) ? (0.0f - r) : r;
return r;
}
事实证明，在这种特殊情况下，使用 FMA 仅在准确性方面提供了很小的好处。如果我用 ((a)*(b)+(c)) 替换对 fmaf(a,b,c) 的调用，最大误差将最小增加到 1.451367 ulps，也就是说，它保持在 1.5 ulps 以下。
我看到@njuffa 有一个很好的方法，但想提出另一种方法：
- 角度最初可能是度数，而不是弧度，请充分利用这一点。
- 不依赖于
float是 IEEE。 - fma 可能是
使用整数数学进行范围缩减，然后通过自调整泰勒级数找到答案。
#include <assert.h>
static float my_sinf_helper(float xx, float term, unsigned n) {
if (term + 1.0f == 1.0f) {
return term;
}
return term - my_sinf_helper(xx, xx * term / ((n + 1) * (n + 2)), n + 2);
}
static float my_cosf_helper(float xx, float term, unsigned n) {
if (term + 1.0f == 1.0f) {
return term;
}
return term - xx * my_cosf_helper(xx, term / ((n + 1) * (n + 2)), n + 2);
}
// valid for [-pi/4 + pi/4]
static float my_sinf_primary(float x) {
return x * my_sinf_helper(x * x, 1.0, 1);
}
// valid for [-pi/4 + pi/4]
static float my_cosf_primary(float x) {
return my_cosf_helper(x * x, 1.0, 0);
}
#define MY_PIf 3.1415926535897932384626433832795f
#define D2Rf(d) ((d)*(MY_PIf/180))
float my_cosdf(float x) {
if (x < 0) {x = -x;}
unsigned long long ux = (unsigned long long) x;
x -= (float) ux;
unsigned ux_primary = ux % 360u;
int uxq = ux_primary%90;
if (uxq >= 45) uxq -= 90;
x += uxq;
switch (ux_primary/45) {
case 7: //
case 0: return my_cosf_primary(D2Rf(x));
case 1: //
case 2: return -my_sinf_primary(D2Rf(x));
case 3: //
case 4: return -my_cosf_primary(D2Rf(x));
case 5: //
case 6: return my_sinf_primary(D2Rf(x));
}
assert(0);
return 0;
}
测试代码
#include <math.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#define DBL_FMT "%+24.17e"
typedef struct {
double x, y0, y1, adiff;
unsigned n;
} test;
test worst = {0};
int my_cosd_test(float x) {
test t;
t.x = x;
t.y0 = cos(x*acos(-1)/180);
t.y1 = my_cosdf(x);
t.adiff = fabs(t.y1 - t.y0);
if (t.adiff > worst.adiff) {
t.n = worst.n + 1;
printf("n:%3u x:" DBL_FMT " y0:" DBL_FMT " y1:" DBL_FMT " d:" DBL_FMT "\n", //
t.n, t.x, t.y0, t.y1, t.adiff);
fflush(stdout);
worst = t;
if (t.n > 100)
exit(-1);
}
return t.adiff != 0.0;
}
float rand_float_finite(void) {
union {
float f;
unsigned char uc[sizeof(float)];
} u;
do {
for (size_t i = 0; i < sizeof u.uc / sizeof u.uc[0]; i++) {
u.uc[i] = (unsigned char) rand();
}
} while (!isfinite(u.f) || fabs(u.f) > 5000);
return u.f;
}
int my_cosd_tests(unsigned n) {
my_cosd_test(0.0);
for (unsigned i = 0; i < n; i++) {
my_cosd_test(rand_float_finite());
}
return 0;
}
int main(void) {
my_cosd_tests(1000000);
}
最差投射错误：+8.2e-08。最大递归深度注释：6.
n: 14 x:+3.64442993164062500e+03 y0:+7.14107074054115110e-01 y1:+7.14107155799865723e-01 d:+8.17457506130381262e-08
我稍后再评论。我确实看到更广泛的测试达到了大约 9e-08 最坏情况错误和 x > about 1e10.