为什么在使用 FFTW 将 (2d) IDFT 转换为 DFT 时，我的数据在频域 "mirrored" 中？

Question

我通过在 16x16 数据集中设置某些模式的实部来手动初始化 2d 频域中的状态。然后我执行 2d IDFT 以获取真实域数据。这一切都按预期工作。

然后我对实际域数据执行 DFT 以返回（应该是）与我手动初始化的频率模式相同的频率模式。然而，它们返回时振幅减半，垂直频率“镜像”。举例说明：

输入模式：
k[1, 0]: 32 + 0i
k[2, 0]: 16 + 0i
k[3, 0]: 8 + 0i
k[4, 0]: 4 + 0i

IDFT -> DFT 后的输出模式：
k[ 1, 0]: 16 + 0i
k[ 2, 0]: 8 + 0i
k[ 3, 0]: 4 + 0i
k[ 4, 0]: 2 + 0i
k[12, 0]: 2 + 0i
k[13, 0]: 4 + 0i
k[14, 0]: 8 + 0i
k[15, 0]: 16 + 0i

我的问题是，为什么 DFT 的输出模式与 IDFT 的初始输入模式不同？

对于一些额外的上下文，我遇到的问题是我正在使用这些数据来“求解”热方程，并且更高频率的信号很快就会按比例缩小。所以 k[12, 0] 到 k[15, 0] 模式在几个时间步之后实际上并没有太大贡献。

重现问题的代码：

int N = 16;                         // Dimensions of the data
int logical_width = (N / 2) + 1;    // Logical width of the frequency domain

double* real = new double[N * N];
fftw_complex* complex = (fftw_complex*)fftw_malloc(sizeof(fftw_complex) * N * logical_width);

fftw_plan plan = fftw_plan_dft_r2c_2d(N, N, real, complex, FFTW_ESTIMATE);
fftw_plan iplan = fftw_plan_dft_c2r_2d(N, N, complex, real, FFTW_ESTIMATE);

// Initialize all real data to 0
for (int i = 0; i < N * N; i++) {
    real[i] = 0.0;
}

// Initialize all complex data to 0
for (int i = 0; i < N * logical_width; i++) {
    complex[i][REAL] = 0.0;
    complex[i][IMAG] = 0.0;
}

// Set first 4 vertical modes
complex[1 * logical_width][REAL] = 32;
complex[2 * logical_width][REAL] = 16;
complex[3 * logical_width][REAL] = 8;
complex[4 * logical_width][REAL] = 4;

// Print before IDFT -> DFT
printComplex(complex, N);

// IDFT
fftw_execute(iplan);

// DFT back
fftw_execute(plan);

// Print after IDFT -> DFT
printComplex(complex, N, true); // Pass true to divide amplitudes by N*N

// Clean up
fftw_destroy_plan(plan);
fftw_destroy_plan(iplan);
delete[] real;
fftw_free(complex);

两个printComplex(...)调用的输出可以在上面的问题中看到。

Answer 1

您需要阅读离散傅立叶变换。

对于real-valued时域信号，DFT具有共轭对称性：

F(k) = conj(F(N-k)),

样本数为N。通过对 non-symmetric frequency-domain 信号进行逆变换，您可以获得 complex-valued time-domain 信号，但是因为您使用了 complex-to-real 变换，所以只有该结果的实部实际上是计算出来的。您在这里丢弃了一半的数据。然后正向变换 returns 这个变换信号的 DFT。因为您的 time-domain 信号现在是 real-valued，您的 frequency-domain 结果具有共轭对称性。

为什么在使用 FFTW 将 (2d) IDFT 转换为 DFT 时，我的数据在频域 "mirrored" 中？

Why is my data in the frequency domain "mirrored" when performing (2d) IDFT into DFT using FFTW?

c++

fft

fftw