累积同质变换：旋转有效，但平移无效？
Cumulative Homogenous Transformations: rotations work, but translations don't?
我有 3 个点云（云 0、云 1 和云 2），是使用地面激光扫描仪在 3 个不同位置获得的。这些云在它们之间重叠，这意味着存在刚性 3D 体变换 T，它可以正确地将一个云注册到另一个云上。我有两个这样的转换，T10，它将云 1 移动到云 0；和 T20，它将云 2 移动到云 0（云 0 被选为全局参考）。问题是，如何找到云 2 与云 1 重叠的变换？我已经找到了旋转，但找不到平移向量。可能吗？
我通过将变换 T20 乘以 T10 的逆变换找到的旋转，因为 T10^(-1) = T01，因此，T20*T01 = T21。当我将此转换应用于云 2 时，它正确地将云 2 旋转到云 1（两者方向相同），但它们之间存在偏移，我不明白为什么。
这些变换只是齐次矩阵 T (4x4)，它们只是旋转矩阵 R (3x3) 和平移向量 t (3x1) 的交集，对吧？可以组合旋转。我发现从云 2 到云 1 的旋转表明了这一点。但是为什么这种转变会出现在翻译中呢？
其实我有好几朵云，要注册一个远离原点的云，我需要通过乘法累积几次变换（例如：T50 = T54 * T43 * T32 * T21 * T10），我越多乘以翻译的差异越大。
我想说，虽然乘法会累积误差，但误差很小，因为注册是手工完成的，并且是ICP细化的。事实上，成对应用任何变换会导致几乎完美的重叠，但累积它们会导致翻译出现巨大偏差。旋转非常好，回环实际上导致了单位矩阵。
你是不是忽略了旋转对平移的影响？
如果你有一个旋转 R 和平移 v 的变换 T 和另一个旋转 Q 和平移 v 的 S，那么将 T 然后 S 应用于点 x 的效果是得到 y 其中
y = Q*(R*x+v) + u = Q*R + Q*v + u
即组合变换有旋转
P = Q*R
和翻译
w = Q*v + u
由此可知，T的逆变换有旋转
inv(R)
和翻译
- inv(R)*v
我们可以并且通常用 4x4 矩阵表示此类变换，这样组合和应用变换就可以简化为矩阵乘法。不过请注意，这是以效率为代价的。
上面的 S 和 T 将由 4x4 矩阵 M 和 N
表示
M = ( Q u)
= ( 0 1)
N = ( R v)
( 0 1)
则组合变换T则S的代表L为
L = M*N
为了将 S 应用于点 x，我们计算
M*(x)
(1)
结果的前三个分量是变换点的分量。
我有 3 个点云（云 0、云 1 和云 2），是使用地面激光扫描仪在 3 个不同位置获得的。这些云在它们之间重叠，这意味着存在刚性 3D 体变换 T，它可以正确地将一个云注册到另一个云上。我有两个这样的转换，T10，它将云 1 移动到云 0；和 T20，它将云 2 移动到云 0（云 0 被选为全局参考）。问题是，如何找到云 2 与云 1 重叠的变换？我已经找到了旋转，但找不到平移向量。可能吗？
我通过将变换 T20 乘以 T10 的逆变换找到的旋转，因为 T10^(-1) = T01，因此，T20*T01 = T21。当我将此转换应用于云 2 时，它正确地将云 2 旋转到云 1（两者方向相同），但它们之间存在偏移，我不明白为什么。
这些变换只是齐次矩阵 T (4x4)，它们只是旋转矩阵 R (3x3) 和平移向量 t (3x1) 的交集，对吧？可以组合旋转。我发现从云 2 到云 1 的旋转表明了这一点。但是为什么这种转变会出现在翻译中呢？
其实我有好几朵云，要注册一个远离原点的云，我需要通过乘法累积几次变换（例如：T50 = T54 * T43 * T32 * T21 * T10），我越多乘以翻译的差异越大。
我想说，虽然乘法会累积误差，但误差很小，因为注册是手工完成的，并且是ICP细化的。事实上，成对应用任何变换会导致几乎完美的重叠，但累积它们会导致翻译出现巨大偏差。旋转非常好，回环实际上导致了单位矩阵。
你是不是忽略了旋转对平移的影响？
如果你有一个旋转 R 和平移 v 的变换 T 和另一个旋转 Q 和平移 v 的 S，那么将 T 然后 S 应用于点 x 的效果是得到 y 其中
y = Q*(R*x+v) + u = Q*R + Q*v + u
即组合变换有旋转
P = Q*R
和翻译
w = Q*v + u
由此可知，T的逆变换有旋转
inv(R)
和翻译
- inv(R)*v
我们可以并且通常用 4x4 矩阵表示此类变换，这样组合和应用变换就可以简化为矩阵乘法。不过请注意，这是以效率为代价的。
上面的 S 和 T 将由 4x4 矩阵 M 和 N
表示M = ( Q u)
= ( 0 1)
N = ( R v)
( 0 1)
则组合变换T则S的代表L为
L = M*N
为了将 S 应用于点 x，我们计算
M*(x)
(1)
结果的前三个分量是变换点的分量。