将平面上的 3D 坐标转置到新的 2D 坐标系

Question

我一直致力于一个个人项目，以生成方程 x^2 + y^2 + z^2 = S 的整数解的图像，其中 'S' 是任何整数。

换句话说，我正在寻找所有 3D 点 [x,y,z]，其中 x、y 和 z 都是完全平方整数并且 x + y + z = S

例如S=2809会有解：

[144, 1296, 1369],
[144, 729, 1936],
[0, 0, 2809]
...加上以上的所有排列（即 144+729+1936 = 1936+729+144）

在开始我的问题之前，这里有一些上下文的小切线：

一般方程 x + y + z = S 的所有解都位于由以下定义的二维平面上：

A = [S, 0, 0]
B = [0, S, 0]
C = [0, 0, S]

这是 x + y + z = 50 的所有解（不仅仅是方点）的图表，以说明该方程的所有解将位于由上面定义的 ABC 界定的同一平面上。请注意，下面三角形的尖端是：[50, 0, 0]、[0, 50, 0] 和 [0, 0, 50]

回到我的问题：找到平方解点后，我想将3D解点转置成基于ABC平面的2D坐标，A为(0,0)，B为max'x'值，C为max'y' 值。然后我希望将这些解决方案输出到一个图像文件。

我的线性代数知识匮乏，一直找不到基于3个非共线点将3D坐标转为2D平面坐标的方法

我的代码目前在 python 中，但是 algorithmic/mathematical 答案同样好！

非常感谢任何帮助！

Answer 1

据我所知，您已经可以找到您的 (x, y, z) 个点，您的问题是关于如何将它们投影到平面上。

请参阅 projection matrix 以了解如何将 3d 世界投影到您选择的图像平面上。

具体来说，您必须将 (x, y, z) 坐标表示为 homogeneous coordinates，将它们称为 (x, y, z, 1)，并将它们乘以与正交的相关相机矩阵您需要施放它们的平面。

这将产生形式为 (x', y', f) 的二维齐次坐标，您可以通过 (x_projected, y_projected) = (x'/f, y'/f).

从中获得投影坐标

OpenCV是你的朋友。

回顾：

输入：n(x, y, z)分
使用 opencv 获得大小为 (4, 3) 的投影（相机）矩阵 M 或使用任何工具自行计算。
将最后一个维度 1 添加到所有点以将它们作为 3d 齐次坐标：n 点 (x, y, z, 1)
将所有点乘以矩阵得到投影点作为二维齐次坐标：M * (x, y, z, 1)^T = (x', y', f)
通过(x, y) = (x'/f, y'/f)

n

M

奖励：您可以将所有 (x, y, z, 1) 点作为列堆叠到 (4, n) 矩阵中，P，整个乘法过程将是 R = M * P，一个结果形状为 (3, n) 的矩阵 R，其列是生成的齐次坐标。

Answer 2

我认为 Gulzar 的回答是正确的，但更多的是围绕渲染（即相机和齐次坐标）。然而，我确实想出了如何做我想做的事。

import ast
import math
import matplotlib.pyplot as plt

def dot_3d(a, b):
    return (a[0]*b[0])+ (a[1]*b[1]) + (a[2]*b[2])

def minus_3d(a, b):
    return [a[0] - b[0], a[1] - b[1], a[2] - b[2]]

def midpoint_3d(a, b):
    return [(a[0] + b[0])/2, (a[1] + b[1])/2, (a[2] + b[2])/2]

def normalize_3d(vec):
    magnitude = math.sqrt(vec[0]**2 + vec[1]**2 + vec[2]**2)
    return [vec[0]/magnitude, vec[1]/magnitude, vec[2]/magnitude]

X = 2809

A = [X, 0, 0]
B = [0, X, 0]
C = [0, 0, X]

S = set([])
for a in range(X+1):
    if int(math.sqrt(a))**2 == a:
        for b in range(X+1):
            if int(math.sqrt(b))**2 == b:
                for c in range(X+1):
                    if int(math.sqrt(c))**2 == c and a + b + c == X:
                        S.add(str([a, b, c]))
S = list(S)

origin = A
normal = normalize_3d([X/3, X/3, X/3])
ax1 = normalize_3d(minus_3d(B, A))
ax2 = normalize_3d(minus_3d(C, midpoint_3d(A, B)))

answers = []

for point_str in S:
    point = ast.literal_eval(point_str)
    x = dot_3d(ax1, minus_3d(point, origin))
    y = dot_3d(ax2, minus_3d(point, origin))
    answers.append([x, y])

plt.scatter([p[0] for p in answers], [p[1] for p in answers])
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.show()

绘制的起始 3D 坐标：

ABC 平面上的“投影”坐标：

将平面上的 3D 坐标转置到新的 2D 坐标系

Transpose 3D coordinates on a plane to a new 2D coordinate system

python

graphics

geometry

image-processing

linear-algebra