在 Python 中交错两位小数

Question

我对所谓的 'interleaving function' f 的高效 Python 实现很感兴趣，它采用 (0,1) 中的两个数字 a、b 并交错其十进制数字，即

f(a,b) := 0.a1 b1 a2 b2 a3 b3 ... 其中 a = 0.a1 a2 a3... 和 b = 0.b1 b2 b3... 是十进制表示a,b.

从数学上讲，函数f是从(0,1)x(0.1)到(0,1)的一对一映射。

您能否建议如何在 Python 中有效地实现此映射以保持它是一对一的？

Answer 1

为了实现高效的实施，需要确保实现两件事：big O notation 方面的最小渐近复杂度和高效的计算运算符，避免重复或不必要的计算。

考虑到这个问题，不太可能使用输入数字长度小于线性的算法来解决它。在运算符方面，鉴于我们使用十进制格式，我们很难从某些 bit-wise（二进制）计算中获益。因此，我们可能最擅长一般数学运算。

使用浮动

第一个天真的实现会尝试在浮点数上执行函数：

def interleave_float(a: float, b: float) -> float:
    a_rest = a
    b_rest = b
    result = 0
    dst_pos = 1.0  # position of written digit
    while a_rest != 0 or b_rest != 0:
        dst_pos /= 10  # move decimal point of write
        a_rest *= 10  # move decimal point of read
        result += a_rest // 1 * dst_pos
        a_rest %= 1  # remove current digit

        dst_pos /= 10
        b_rest *= 10
        result += dst_pos * (b_rest // 1)
        b_rest %= 1

    return result

然而，一个简单的测试显示了一个问题 - inherently limited precision of floating point arithmetic 已经在浮点数后的第 16-17 位失真：

>>> a = 0.987654321
>>> b = 0.1234567890123456789
>>> print(a)
0.987654321
>>> print(f"{b:.20}")  # formatted to show higher precision
0.12345678901234567737
>>> print(f"Float:  {interleave_float(a, b):.50}")
Float:  0.91827364554637280757987127799424342811107635498047

使用十进制

克服精度问题的常用方法是使用decimal.Decimal, the python implementation of fixed-point decimal arithmetic:

from decimal import Decimal, getcontext
getcontext().prec = 50  # increase number precision

def interleave_fixed(a: Decimal, b: Decimal) -> Decimal:
    a_rest = a
    b_rest = b
    result = 0
    dst_pos = Decimal(1)
    while a_rest != 0 or b_rest != 0:
        dst_pos *= Decimal(0.1)
        a_rest *= 10  # move decimal point
        result += a_rest // 1 * dst_pos
        a_rest %= 1  # remove current digit

        dst_pos *= Decimal(0.1)
        b_rest *= 10
        result += dst_pos * (b_rest // 1)
        b_rest %= 1

    return result

这似乎对 b 更有效，但不幸的是，它也会导致结果中大约相同数字的不精确。这种不精确性也由计算后上下文中的 Inexact 标志表示：

>>> print(getcontext())
Context(prec=50, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])
>>> a = Decimal(".987654321")
>>> b = Decimal(".1234567890123456789")
>>> print(a)
0.987654321
>>> print(b)
0.1234567890123456789
>>> print(f"Fixed:  {interleave_fixed(a, b)}")
Fixed:  0.91827364554637287146771953200668367263491993253785
>>> print(getcontext())
Context(prec=50, rounding=ROUND_HALF_EVEN, Emin=-999999, Emax=999999, capitals=1, clamp=0, flags=[Inexact, FloatOperation, Rounded], traps=[InvalidOperation, DivisionByZero, Overflow])

使用海峡

另一种不应由于精度而施加限制的方法（也是您自己提出的）是对字符串进行句法处理：

def interleave_str(a: str, b: str) -> str:
    result = "0."
    src_pos = 2  # position of read digit
    while len(a) > src_pos or len(b) > src_pos:
        result += a[src_pos] if len(a) > src_pos else "0"

        result += b[src_pos] if len(b) > src_pos else "0"

        src_pos += 1

    return result[:-1] if result.endswith("0") else result

删除尾随 0（如果存在）

该算法不进行验证，因此您可以自行决定要添加的内容。然而，对此进行测试可提供所需的精度：

>>> a = "0.987654321"
>>> b = "0.1234567890123456789"
>>> print(a)
0.987654321
>>> print(b)
0.1234567890123456789
>>> print(f"String: {interleave_str(a, b)}")
String: 0.91827364554637281900010203040506070809

...但是可以用结果字符串做什么呢？也许再次将其转换为小数？取决于你想如何使用结果。

在 Python 中交错两位小数

Interleaving two decimal digits in Python

python

function

decimal

digits

interleave

使用浮动

使用十进制

使用海峡

删除尾随 0（如果存在）