对于接近统一的值，浮点数学是否更精确？
Is floating point math more precise for values close to unity?
问题
有人多次告诉我，如果运算的数字接近 1.0（有时 0.1），浮点运算的精度最高。这有什么道理吗？
澄清
“算术”是指 a + b、a * b、a / b，还有 sqrt(x) 和其他数学函数。
具体来说，假设所有变量都是IEEE 64 bit double precision浮点数。
例子
在物理模拟代码中，物理单位通常通过将它们映射到浮点值来合并。在这里我们有很多自由，但一个选择是使用 SI/metric system，比如
# Base units
m = 1.0 # metre
s = 1.0 # second
kg = 1.0 # kilogram
# Derived units
km = 1e+3*m # kilometre
yr = 60*60*24*365.25*s # year
m_sun = 1.98841e+30*kg # mass of the sun
c = 299792458*m/s # speed of light
...
此类代码中任何量纲变量的数值取决于单位系统的选择。如果我们得到一个值 x == 1.2e-9 并且 x 意味着被理解为例如长度，我们知道这意味着 x 是 1.2 纳米。如果我们选择设置 m = 1e-9，x 将取而代之的是 1.2 的值，因为我们现在使用纳米是基本长度单位的单位系统。
根据模拟中研究的物理系统，可能会选择不同的“自然”单位系统。如果我们的重点是原子物理学，那么选择太阳质量作为基本质量单位可能并不理想。为什么不呢？那是我的问题。当然，所有感兴趣的质量都会有很小的数值，但那又怎样？使用极度 small/large 的数字是否会以某种方式放大浮点运算固有的不精确性？
我知道存在最小和最大浮点数（类似于 1e-324 和 1e+308）。对于手头的任务使用如此古怪的单位系统，以至于我们的变量值超出这些限制当然是破坏性的。尽管将值保持在这些范围内，但代码中的典型值是否按 1.0、1e±10、1e±100?
顺序真的有什么区别吗
关于数学函数的注意事项
在非常 large/small 输入的情况下，各种数学函数实际上明显不精确。例如cos(1e-8) == 1，即cos()函数无法区分小于1e-8的正数。这与我的问题 不 相关，因为 cos() 的输入必须始终是无量纲的纯数字，即独立于代码中定义的单位系统。这同样适用于所有其他三角函数，还有 exp()、log() 和其他函数。
Is floating point math more precise for values close to unity?
不是真的。
一般来说，浮点数学很好地保持了 真实 的精度 *、/、sqrt() 覆盖了大部分的浮动点范围。 +、- 由于减去附近的值而导致相对精度（对结果）的显着损失。
总体而言，相对 精度的正常数字几乎没有差异。它从 (0.5 到 1.0] * 2-53.
变化
绝对精度按 2 的幂变化。
浮点数 [0.5...1.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-54.
浮点数 [1.0...2.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-53.
浮点数 [2.0...4.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-52.
浮点数 [4.0...8.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-51.
等等
floating point arithmetic has the greatest precision if the numbers operated on are close to 1.0 (or sometimes 0.1). Is there any truth to this?
刚好低于 power-of-2 的值比刚好高于 2 的幂的值具有更高的绝对精度（大约 2 倍）。
使用微小的次正常 值，精度会丢失，每 2 次幂一位，直到达到 0.0。
高级：Trig 函数在其量级很大时特别值得关注。高质量 sin(1e10) 对主要 [-pi ... pi] 范围进行内部扩展高精度参数缩减。并非所有触发函数实现都能很好地处理此步骤。因此，对于弧度参数，从主要范围开始有助于保持精度。对于度参数，简单的 fmod(deg, 360.0) 是简单而精确的范围缩减。
问题
有人多次告诉我，如果运算的数字接近 1.0（有时 0.1），浮点运算的精度最高。这有什么道理吗？
澄清
“算术”是指 a + b、a * b、a / b，还有 sqrt(x) 和其他数学函数。
具体来说，假设所有变量都是IEEE 64 bit double precision浮点数。
例子
在物理模拟代码中，物理单位通常通过将它们映射到浮点值来合并。在这里我们有很多自由，但一个选择是使用 SI/metric system，比如
# Base units
m = 1.0 # metre
s = 1.0 # second
kg = 1.0 # kilogram
# Derived units
km = 1e+3*m # kilometre
yr = 60*60*24*365.25*s # year
m_sun = 1.98841e+30*kg # mass of the sun
c = 299792458*m/s # speed of light
...
此类代码中任何量纲变量的数值取决于单位系统的选择。如果我们得到一个值 x == 1.2e-9 并且 x 意味着被理解为例如长度，我们知道这意味着 x 是 1.2 纳米。如果我们选择设置 m = 1e-9，x 将取而代之的是 1.2 的值，因为我们现在使用纳米是基本长度单位的单位系统。
根据模拟中研究的物理系统，可能会选择不同的“自然”单位系统。如果我们的重点是原子物理学，那么选择太阳质量作为基本质量单位可能并不理想。为什么不呢？那是我的问题。当然，所有感兴趣的质量都会有很小的数值，但那又怎样？使用极度 small/large 的数字是否会以某种方式放大浮点运算固有的不精确性？
我知道存在最小和最大浮点数（类似于 1e-324 和 1e+308）。对于手头的任务使用如此古怪的单位系统，以至于我们的变量值超出这些限制当然是破坏性的。尽管将值保持在这些范围内，但代码中的典型值是否按 1.0、1e±10、1e±100?
关于数学函数的注意事项
在非常 large/small 输入的情况下，各种数学函数实际上明显不精确。例如cos(1e-8) == 1，即cos()函数无法区分小于1e-8的正数。这与我的问题 不 相关，因为 cos() 的输入必须始终是无量纲的纯数字，即独立于代码中定义的单位系统。这同样适用于所有其他三角函数，还有 exp()、log() 和其他函数。
Is floating point math more precise for values close to unity?
不是真的。
一般来说，浮点数学很好地保持了 真实 的精度 *、/、sqrt() 覆盖了大部分的浮动点范围。 +、- 由于减去附近的值而导致相对精度（对结果）的显着损失。
总体而言，相对 精度的正常数字几乎没有差异。它从 (0.5 到 1.0] * 2-53.
变化绝对精度按 2 的幂变化。
浮点数 [0.5...1.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-54.
浮点数 [1.0...2.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-53.
浮点数 [2.0...4.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-52.
浮点数 [4.0...8.0) 具有相同的绝对精度。对于double 2-51.
等等
floating point arithmetic has the greatest precision if the numbers operated on are close to 1.0 (or sometimes 0.1). Is there any truth to this?
刚好低于 power-of-2 的值比刚好高于 2 的幂的值具有更高的绝对精度（大约 2 倍）。
使用微小的次正常 值，精度会丢失，每 2 次幂一位，直到达到 0.0。
高级：Trig 函数在其量级很大时特别值得关注。高质量 sin(1e10) 对主要 [-pi ... pi] 范围进行内部扩展高精度参数缩减。并非所有触发函数实现都能很好地处理此步骤。因此，对于弧度参数，从主要范围开始有助于保持精度。对于度参数，简单的 fmod(deg, 360.0) 是简单而精确的范围缩减。