如何检测浮点加法和乘法舍入导致的精度损失？

Question

来自计算机系统：程序员的视角：

With single-precision floating point

• the expression (3.14f+1e10f)-1e10f evaluates to 0.0: the value 3.14 is lost due to rounding.

• the expression (1e20f*1e20f)*1e-20f evaluates to +∞ , while 1e20f*(1e20f*1e-20f) evaluates to 1e20f.

• 如何检测浮点加法和乘法舍入导致的精度损失？

• underflow和我描述的问题有什么联系和区别？下溢是否只是由于四舍五入导致精度丢失的一种特殊情况，结果四舍五入为零？

谢谢。

Answer 1

虽然在数学中，实数的加法和乘法是关联运算，但这些运算在对浮点类型执行时 不是 关联的，例如 float，由于有限的精度和范围扩展。

所以顺序很重要。

考虑到示例，数字 10000000003.14 不能精确表示为 32 位 float，因此 (3.14f + 1e10f) 的结果将是 等于 到 1e10f，这是最接近的可表示数字。当然，3.14f + (1e10f - 1e10f) 会变成 3.14f。

请注意，我使用了 f 后缀，因为在 C 中，表达式 (3.14+1e10)-1e10 涉及 double 文字，因此结果确实是 3.14（或更多可能类似于 3.14999).

在第二个例子中发生了类似的事情，其中​​1e20f * 1e20f已经超出了float的范围（但不是double）并且连续乘法没有意义，而(1e20f * 1e-20f)，它首先在另一个表达式中执行，具有明确定义的结果 (1)，连续乘法得出正确答案。

在实践中，有一些注意事项你采取

• 使用更宽的字体。 double 最适合大多数应用程序，除非有其他要求。
• 如果可能，重新排序操作。例如，如果您必须添加许多项并且您 知道 其中一些比其他项小，请先添加这些项，然后再添加其他项。避免相同数量级的数字相减。一般来说，可能有一种比原始方法更准确的代数表达式求值方法（例如霍纳的多项式求值方法）。
• 如果您对问题领域有某种了解，您可能已经知道计算的哪一部分可能有问题值，并在执行计算之前检查这些值是否大于（或小于）某些限制。
• 尽快查看结果。当你已经有一个无穷大的值或 NaN 时，继续计算是没有意义的，或者当你的目标值根本没有被修改时继续迭代。