为什么 2 的补码扩展通过添加符号位的副本来工作？

Question

我们以将16位有符号数符号扩展为32位寄存器为例，如mov $+/-5, %ax movswl %ax, %ebx.

有两种可能的情况：

高位为零（数字为正数）。这是非常容易理解和直观的。例如，如果我有数字 5，左补零就很容易理解。例如：

                  00000000 00000101    # 5 (represented in 16 bits)
00000000 00000000 00000000 00000101    # 5 (represented in 32 bits)

但是，我很难理解的是当它是负数时我们进行符号扩展。示例：

                  11111111 11111011    # -5 (represented in 16 bits)
11111111 11111111 11111111 11111011    # -5 (represented in 32 bits)

是的，我知道我们只是用 1 填充高位。但是是什么让它起作用呢？也许对二进制数的 'properties' 的解释可以帮助我更好地理解这一点。

Answer 1

对于n-bit 2的补数：

当我们扩展 1 位时，原来的符号位现在是一个“常规”位并且具有 +(2^n) 而不是 -(2^n) 的位置值，因此现有位表示的值现在比原始值 2^n + 2^n = 2^(n+1) 高。（或者如果该位为零则相同）。

新符号位的位值为-(2^(n+1))，因此复制原始符号位正是我们需要平衡place-value中的变化。（如果为零则保持不变）。

一位的过程当然可以通过重复任意数量的位来概括。

有关位如何表示值的更多信息，请参阅维基百科：https://en.wikipedia.org/wiki/Two%27s_complement#Converting_from_two's_complement_representation - 2 的补码文章非常好，但没有详细说明 为什么 复制符号位有效。

您也可以在纸上尝试一些小示例，例如 sign-extending 从 4 到 5 位。 -1 (all-ones) 将是一个很好的开始值，使数学变得简单。或者 0b1000 (-8) 也是不错的选择。

Google 发现 https://andybargh.com/binary-sign-extension/ 通过一个 8 位示例工作。

Why does 2's complement sign extension work by adding copies of the sign bit?