如何用 python-control 模拟系统传递函数的时间响应（IVP 问题）？

Question

我正在尝试使用系统传递函数的定义和 python-control 模块来演示如何“求解”（模拟求解）微分方程初值问题 (IVP)。事实是我真的是控制方面的新手

我以这个简单的微分为例：y'' - 4y' + 13y = 0，初始条件为：y(0) = 1 和 y'(0) = 0.

我手工实现了这个传递函数： Y(s) = (s - 4)/(s^2 - 4*s + 13).

因此，在 Python 中，我正在编写这一小段代码（请注意 y_ans 是此微分 IVP 的答案 seen here）：

import numpy as np
import control as ctl
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0., 1.5, 100)
sys = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
T, yout, _ = ctl.forced_response(sys, T=t, X0=[1, 0])

y_ans = lambda x: 1/3*np.exp(2*x)*(3*np.cos(3*x) - 2*np.sin(3*x))

plt.plot(t, y_ans(t), '-.', color='gray', alpha=0.5, linewidth=3, label='correct answer')
plt.plot(T, yout, 'r', label='simulated')
plt.legend()

这段代码得到了这张图：

但是当我在 yout 前面插入一个负号时，我得到了一个我想要的匹配：

plt.plot(T, -yout, 'r', label='simulated') ### yout with negative sign

我做错了什么？ Python-控制文档对我来说不是很清楚。另外，我不知道我对 control.forced_response 的 X0 参数的解释是否正确。是否可以按照我的意图进行此操作？

欢迎任何能阐明这个主题的人参与贡献。

编辑

设置 X0 = [0,0] 给我这张图：

Answer 1

感谢@LutzLehmann 的评论，我一直在思考“编码两次”的含义。所以，回到正题，我意识到这个传递函数结合了输入（时间或斜坡）和初始条件。它实际上是一个输出。我需要某种逆拉普拉斯变换，或者，正如我开始思考的那样，我只需要按原样模拟它，不需要更多信息。

因此，我设法使用了一个脉冲输入（拉普拉斯变换等于 1）并且我能够得到一个恰好是我及时模拟的 tf 的输出。

import numpy as np
import control as ctl
import matplotlib.pyplot as plt

t = np.linspace(0., 1.5, 100)
sys = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
T, yout = ctl.impulse_response(sys, T=t) # HERE is what I wanted

y_ans = lambda x: 1/3*np.exp(2*x)*(3*np.cos(3*x) - 2*np.sin(3*x))

plt.plot(t, y_ans(t), '-.', color='gray', alpha=0.5, linewidth=3, label='correct answer')
plt.plot(T, yout, 'r', label='simulated')
plt.legend()

现在我想我可以展示如何使用 python-control 间接模拟微分方程的答案。 :-D

Answer 2

我认为最好的办法是将您的系统转换为状态 space 并查看发生了什么（有许多可能的状态 space 表示）：

sys_tf = ctl.tf([1.,-4.],[1.,-4.,13.])
sys_ss = ctl.tf2ss(sys_tf)
print(sys_ss)

输出：

A = [[ 4.00000000e+00  1.30000000e+00]
     [-1.00000000e+01  1.33226763e-15]]

B = [[-1.]
     [ 0.]]

C = [[-1.  -0.4]]

D = [[0.]]

我们想要找到 x(0) 使得 y(0) = Cx(0) = 1 和 y'(0) = CAx(0) = 0.

我们可以写出这些方程并手工求解，也可以使用线性代数：

A = np.vstack([sys_ss.C, sys_ss.C @ sys_ss.A])
b = np.array([[1], [0]])
x0 = np.linalg.solve(A, b)
print(x0)

给出：

[[-1.00000000e+00]
 [-1.36642834e-15]]

因此，这应该有效：

T, yout = ctl.forced_response(sys_ss, T=t, X0=[-1, 0])

此外，由于您只对初始条件（即 u(t)=0）的瞬态响应感兴趣，您可以使用 initial_response 函数：

T, yout = ctl.initial_response(sys_ss, T=t, X0=[-1, 0])

如何用 python-control 模拟系统传递函数的时间响应（IVP 问题）？

How to simulate the time response of a system transfer function with python-control (IVP problem)?

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