尾数的最左边的位总是 1 吗？
Is the leftmost bit of the mantissa always 1?
我正在看《程序的秘密生活》这本书。在第一章中，解释了数字设备公司 (DEC) 发明的一种允许双倍精度的技巧：“丢弃尾数的最左边的位会使精度加倍，因为我们知道它永远是 1，这使得还有一点空间。“
我看不懂。例如：让我们考虑一个 4 位浮点表示，其中包含 2 位尾数和 2 位指数。二进制数 01.11 代表 4.0。最左边的位是 0 而不是 1。
谁能给我解释一下，“丢弃最左边的位”和“精度加倍”是什么意思？
Floating-point 格式不同，但在大多数情况下，floating-point 表示是 s•be•f，其中s为+1或-1表示一个符号，b是一个基数（通常是2或10），e是一个指数， f 是以 b 为基数的 p 位数字。 b和p是由格式决定的固定数字。 s、e 和 f 根据所表示的数字而变化。 f 称为尾数。 （这是 floating-point 数的小数部分的首选术语。“尾数”是对数小数部分的历史术语。）
e 的边界以及 f 的缩放方式由格式决定。有时 f 被指定为在其第一位数字后有小数点（小数点的一般形式），因此其形式为 d0.d−1d− 2…d1−p，其中每个 d i 是一个基数-b 数字（从 0 到 b−1，包括）。在这种形式下，0 ≤ f < b。 （我们不需要关心这个答案中的其他形式。）
在大多数情况下，f 的第一位不需要为零。如果它是零，我们可以将其删除并将其他数字左移一位。这会将 f 乘以 b，但我们可以通过将指数 e 减一来进行补偿。例如，如果 floating-point 数字是 0.1112•27，我们可以将其表示为 1.110 2•26。这为 f 末尾的新数字开辟了空间，与第一位数字为零相比，这为我们提供了更高的精度。
因此，我们希望第一个数字是 non-zero。这称为正常形式。第一个数字为零的数字是非规范化的。在可表示数字的最“底”端，e 达到了它的界限，我们不能进一步减少它，所以我们不能移动 f[=93 的数字=] 左边，我们必须在第一个位置留下一个零。这些必须非正规化的数字是次正规数。一些 floating-point 格式支持它们。有些没有。
当基数为二时，只有两个可能的数字值（0 和 1），因此，如果第一位不为零，则必须为一。因此，当我们使用以二为底且数字是范式时，我们知道它的第一个数字是一。因此，如果我们知道这个数字是正常的，就没有必要把这个数字和其他数字一起记录。
在IEEE-754格式中，记录指数的位也记录了这个数是否正常。上面的数字 s、e 和 f 存储在我们可能称为 S、E 和 F。但是，它们并不直接作为二进制整数存储在这些位中。在指数字段 E 中，如果位全为零，则表示次正规数。这告诉我们指数 e 处于最低值，尾数的第一位为零。如果位都是 1，则表示该项是无穷大或 NaN。 e 在全零和全一之间的所有值表示 e 的值，并且尾数的第一个数字是 1。 （E的值不直接是e的值；有一个偏差用来调整，所以e = E − bias。例如，IEEE-754 binary32 的偏置为 127，因此 E of 00000001 表示 e = 1 − 127 = −126.)
因此，说我们“丢弃”了有效数的最左边的位是不正确的。实际发生的是最左边的位被编码在指数字段中，最右边的位存储在尾数字段中。
说这样处理最左边的位“精度加倍”也是草率的。的确，具有 p 位而不是 p−1 位的有效数具有两倍的可能值，因为每一位使值的数量加倍可代表的。因此，通过指数字段编码一位给我们的可能值是我们必须仅使用字段 F 作为尾数的两倍。但将其描述为精度提高一倍而不是精度提高一倍更清楚。
我看不懂。例如：让我们考虑一个 4 位浮点表示，其中包含 2 位尾数和 2 位指数。二进制数 01.11 代表 4.0。最左边的位是 0 而不是 1。
谁能给我解释一下，“丢弃最左边的位”和“精度加倍”是什么意思？
Floating-point 格式不同，但在大多数情况下，floating-point 表示是 s•be•f，其中s为+1或-1表示一个符号，b是一个基数（通常是2或10），e是一个指数， f 是以 b 为基数的 p 位数字。 b和p是由格式决定的固定数字。 s、e 和 f 根据所表示的数字而变化。 f 称为尾数。 （这是 floating-point 数的小数部分的首选术语。“尾数”是对数小数部分的历史术语。）
e 的边界以及 f 的缩放方式由格式决定。有时 f 被指定为在其第一位数字后有小数点（小数点的一般形式），因此其形式为 d0.d−1d− 2…d1−p，其中每个 d i 是一个基数-b 数字（从 0 到 b−1，包括）。在这种形式下，0 ≤ f < b。 （我们不需要关心这个答案中的其他形式。）
在大多数情况下，f 的第一位不需要为零。如果它是零，我们可以将其删除并将其他数字左移一位。这会将 f 乘以 b，但我们可以通过将指数 e 减一来进行补偿。例如，如果 floating-point 数字是 0.1112•27，我们可以将其表示为 1.110 2•26。这为 f 末尾的新数字开辟了空间，与第一位数字为零相比，这为我们提供了更高的精度。
因此，我们希望第一个数字是 non-zero。这称为正常形式。第一个数字为零的数字是非规范化的。在可表示数字的最“底”端，e 达到了它的界限，我们不能进一步减少它，所以我们不能移动 f[=93 的数字=] 左边，我们必须在第一个位置留下一个零。这些必须非正规化的数字是次正规数。一些 floating-point 格式支持它们。有些没有。
当基数为二时，只有两个可能的数字值（0 和 1），因此，如果第一位不为零，则必须为一。因此，当我们使用以二为底且数字是范式时，我们知道它的第一个数字是一。因此，如果我们知道这个数字是正常的，就没有必要把这个数字和其他数字一起记录。
在IEEE-754格式中，记录指数的位也记录了这个数是否正常。上面的数字 s、e 和 f 存储在我们可能称为 S、E 和 F。但是，它们并不直接作为二进制整数存储在这些位中。在指数字段 E 中，如果位全为零，则表示次正规数。这告诉我们指数 e 处于最低值，尾数的第一位为零。如果位都是 1，则表示该项是无穷大或 NaN。 e 在全零和全一之间的所有值表示 e 的值，并且尾数的第一个数字是 1。 （E的值不直接是e的值；有一个偏差用来调整，所以e = E − bias。例如，IEEE-754 binary32 的偏置为 127，因此 E of 00000001 表示 e = 1 − 127 = −126.)
因此，说我们“丢弃”了有效数的最左边的位是不正确的。实际发生的是最左边的位被编码在指数字段中，最右边的位存储在尾数字段中。
说这样处理最左边的位“精度加倍”也是草率的。的确，具有 p 位而不是 p−1 位的有效数具有两倍的可能值，因为每一位使值的数量加倍可代表的。因此，通过指数字段编码一位给我们的可能值是我们必须仅使用字段 F 作为尾数的两倍。但将其描述为精度提高一倍而不是精度提高一倍更清楚。