R 上的简单高斯过程模拟

Question

如何使用均值函数 m(t) = 0 和模拟高斯过程 X(t), t = 1, . . . , 200 协方差函数 r(h) = Cov(t, t + h) = exp(-|h|)。我知道这个过程有时被称为 Ornstein-Uhlenbeck 过程，但如何绘制模拟过程。

感谢期待

Answer 1

使用此处的函数：https://quant.stackexchange.com/questions/1260/r-code-for-ornstein-uhlenbeck-process

ornstein_uhlenbeck <- function(T,n,nu,lambda,sigma,x0){
  dw  <- rnorm(n, 0, sqrt(T/n))
  dt  <- T/n
  x <- c(x0)
  for (i in 2:(n+1)) {
    x[i]  <-  x[i-1] + lambda*(nu-x[i-1])*dt + sigma*dw[i-1]
  }
  return(x);
}

test <- ornstein_uhlenbeck(200, 200, 0, 0.8, 1, 0)
plot(x = seq_along(test), y = test, type = 'l')

（请注意，它只为您提供一个近似分布，如 link 中问题的答案之一所述。）

我假设 T = 200，n = 200，nu = 0（如您所述），均值回归参数为 0.8，sigma 为 1，过程从 0 开始。

Answer 2

根据 Wikipedia 定义，Ornstein–Uhlenbeck 过程由以下随机微分方程定义：其中是一个维纳过程，它的一个特性是它具有高斯增量，即

上述方程可以按以下方式离散化：其中由于维纳过程的高斯增量属性，我们得到。这意味着可以使用 sqrt(dt)*rnorm(1)

生成增量值

我在 R 中编写了以下函数，它采用时间向量、过程的平均值、标准差和 theta 的值。

simulate <- function(t, mean=0, std=1, x0=mean, theta=1, number.of.points=length(t)){
  # calculate time differences
  dt <- diff(t)
  X <- vector("numeric", length=number.of.points)
  X[1] <- x0
  for(i in 1:(number.of.points-1)){
    X[i+1] <- X[i] + theta * (mean-X[i])*dt[i] + std * sqrt(dt[i])* rnorm(1)
  }
  data.frame(x=t, y=X)
}
simulate(t=1:200) %>%  ggplot(aes(x,y)) + geom_line()

另一个实现使用purrr

simulate <- function(t, mean=0, sd=1, theta=1, number.of.points=length(t)){
  stopifnot(!missing(t) | !missing(number.of.points))
  if(missing(t)){
    t <- 1:number.of.points
  } 

  unlist(purrr::accumulate2(vector("numeric", length=number.of.points-1), diff(t), function(x, o, y) {
    x + theta*(mean - x)* y + sqrt(y)*rnorm(1)
  }, .init=x0), use.names=F) -> X
  
  data.frame(x=t, y=X)
}
simulate(number.of.points=200) %>%  ggplot(aes(x,y)) + geom_line()

R 上的简单高斯过程模拟

Simple Gaussian Process Simulation on R

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