使用自然三次样条外推时的曲率

Question

Natural Cubic Spline 背后的假设之一是在插值区间的端点，样条多项式的二阶导数设置为等于 0。我试图证明使用 Natural示例中通过 from scipy.interpolate import CubicSplines 的三次样条（下面的代码）。

from scipy.interpolate import CubicSpline
from numpy import linspace

import matplotlib.pyplot as plt

runge_f = lambda x: 1 / (1 + 25*x**2)

x = linspace(-2, 2, 11)
y = runge_f(x)
cs = CubicSpline(x, y, bc_type = "natural")
t = linspace(-5, 5, 1000)

plt.plot(x, y, "p", color="red")
plt.plot(t, runge_f(t), color="black")
plt.plot(t, cs(t), color="lightblue")

plt.show()

在给出的示例中，外推点的曲率不等于零 - 区间外的外推在自然三次样条中不应该是线性的吗？

Answer 1

样条在端点处的曲率（二阶导数）确实为0，你可以通过运行这个

检查

print(cs(x[0],2), cs(x[-1], 2))

计算 x 插值区间两端的二阶导数。然而，这并不意味着样条曲线是平坦的超出限制 - 它继续作为三次多项式。如果你想在范围之外进行线性外推，你必须自己做。很容易推断平坦：将 cs=.. 行替换为

from scipy.interpolate import interp1d
cs = interp1d(x,y,fill_value = (y[0],y[-1]), bounds_error = False)

得到这样的东西：

但线性外推需要更多工作。我不确定是否有一个 Python 函数（或者我确定有一个我只是不知道它是什么）

使用自然三次样条外推时的曲率

Curvature when extrapolated using Natural Cubic Spline

python

scipy

spline