给定最大和最小距离的二进制系统中组件的质量

Question

我尝试计算双星系统中组成恒星的质量。 我只有周期和它们之间的最大和最小距离，并且知道如何使用它们来获得总质量。

据我所知，我想我需要其中一颗恒星到重心的距离。

是否可以根据这些信息计算出每个组成成员的质量？

感谢您的帮助！

Answer 1

我想，如果你只有周期 T 和最大 a_max 和最小 a_min 两颗星之间的距离，正如你所指出的，你可以计算出总和质量，使用公式

mass_1 + mass_2 = (2*pi / T)^2 * ((a_min + a_max)^3 / G)

但是，您不能仅根据此信息计算单个质量，因为规定的数据、周期 T 以及最大 a_max 和最小 a_min 距离是针对星星的相对位置，而不是个体。

我是什么意思。假设您有两颗恒星，其运动具有上面给出的参数。然后，根据牛顿力学，让我们假设您的坐标系位于质心，如果您表示从质心指向各个恒星的位置向量 r1 和 r2，则运动方程是

(d/dt)^2 r1 = - ( mass_2*G / |r2 - r1|^3 )*(r1 - r2)
(d/dt)^2 r2 = - ( mass_1*G / |r2 - r1|^3 )*(r2 - r1)

第二个减去第一个向量微分方程，设r = r2 - r1，得到向量微分方程（3个标量微分方程和3个标量变量，相对位置向量的三维坐标r)

(d/dt)^2 r = - ( (mass_1 + mass_2)*G / |r|^3 ) * r

这是描述两颗恒星之间相对位置向量r随时间演化的经典向量微分方程。您所掌握的信息，周期 T 和最大 a_max 和最小 a_min，可用于找到上面最后一个方程的特定解，即 r 的解，它给出了具有规定属性的两颗恒星之间的相对运动 r = r(t)。然而，任何一对具有任意质量 mass_1 和 mass_2 的恒星的运动，总和为相同值 mass_1 + mass_2，将为向量微分方程

提供一个解]

(d/dt)^2 r = - ( (mass_1 + mass_2)*G / |r|^3 ) * r

并且在所有这些解决方案中，将有一些具有所需的属性：周期 T 和最大的 a_max 以及最小的 a_min。观察 T、a_min 和 a_max 是向量 r 的属性，而不是个体 r1 和 r2 的属性，这告诉你找不到个体群众。