eigen() 和正确的特征向量
eigen() and the correct eigenvectors
我的问题如下：
我正在尝试使用 R 来计算数值 this 问题。
所以我已经在我的控制台中正确设置了问题，然后我尝试计算特征向量。
但我希望与 lambda = 1 关联的特征向量是 (1,2,1) 而不是我在这里得到的。所以，缩放是正确的（0.4082483 实际上是 0.8164966 的一半），但我想获得一致的结果。
我最初的问题是使用 R 找到马尔可夫链的平稳分布，而不是在纸上做。因此，从概率的角度来看，我的平稳分布是一个向量，其分量之和等于 1。因此，我试图更改比例以获得我定义的“一致结果”。
我该怎么做？
C <- matrix(c(0.5,0.25,0,0.5,0.5,0.5,0,0.25,0.5),
nrow=3)
ee <- eigen(t(C))$vectors
正如@Stéphane Laurent 在评论中所建议的那样，特征向量的缩放是任意的；仅指定相对值。 R中默认是特征向量的平方和（它们的范数）等于1； colSums(ee^2)是1s的向量。
在 link 之后，我们可以看到您希望每个特征向量的总和为 1。
ee2 <- sweep(ee,MARGIN=2,STATS=colSums(ee),FUN=`/`)
（即，将每个特征向量除以其总和）。
(这是一个很好的通用解决方案，但在这种情况下，第二个和第三个特征向量的总和都近似为零[理论上，它们是 零]，所以这只对第一个特征向量有意义。）
R 返回的特征向量被归一化（对于平方范数）。如果 V 是特征向量，那么 s * V 也是任何非零标量 s 的特征向量。如果您想要 link 中的平稳分布，除以总和：
V / sum(V)
你会得到 (1/4, 1/2, 1/4).
所以：
ev <- eigen(t(C))$vectors
ev / colSums(ev)
一次获得所有解决方案。
我的问题如下：
我正在尝试使用 R 来计算数值 this 问题。 所以我已经在我的控制台中正确设置了问题，然后我尝试计算特征向量。
但我希望与 lambda = 1 关联的特征向量是 (1,2,1) 而不是我在这里得到的。所以，缩放是正确的（0.4082483 实际上是 0.8164966 的一半），但我想获得一致的结果。
我最初的问题是使用 R 找到马尔可夫链的平稳分布，而不是在纸上做。因此，从概率的角度来看，我的平稳分布是一个向量，其分量之和等于 1。因此，我试图更改比例以获得我定义的“一致结果”。
我该怎么做？
C <- matrix(c(0.5,0.25,0,0.5,0.5,0.5,0,0.25,0.5),
nrow=3)
ee <- eigen(t(C))$vectors
正如@Stéphane Laurent 在评论中所建议的那样，特征向量的缩放是任意的；仅指定相对值。 R中默认是特征向量的平方和（它们的范数）等于1； colSums(ee^2)是1s的向量。
在 link 之后，我们可以看到您希望每个特征向量的总和为 1。
ee2 <- sweep(ee,MARGIN=2,STATS=colSums(ee),FUN=`/`)
（即，将每个特征向量除以其总和）。
(这是一个很好的通用解决方案，但在这种情况下，第二个和第三个特征向量的总和都近似为零[理论上，它们是 零]，所以这只对第一个特征向量有意义。）
R 返回的特征向量被归一化（对于平方范数）。如果 V 是特征向量，那么 s * V 也是任何非零标量 s 的特征向量。如果您想要 link 中的平稳分布，除以总和：
V / sum(V)
你会得到 (1/4, 1/2, 1/4).
所以：
ev <- eigen(t(C))$vectors
ev / colSums(ev)
一次获得所有解决方案。