变量可以用作 PyMC3 模型中的 'observed' 数据吗？

Question

我是贝叶斯世界和 PyMC3 的新手，正在为简单的模型设置而苦苦挣扎。具体来说，如何处理 'observed' 数据本身被随机变量修改的设置？举个例子，假设我有一个二维点 [Xi, Yi] 的集合，这些点形成一个圆弧，圆的中心点是 [Xc,Yc]，我不知道。但是，我希望点与圆心 Ri 之间的距离应该呈正态分布，大约已知半径 R。因此，我最初认为我可以分配 Xc 和 Yc 统一先验（在任意大的范围内）然后在模型中重新计算 Ri 并将 Ri 指定为 'observed' 数据以获得 Xc 和 Yc 的后验估计：

import pymc3 as pm
import numpy as np

points = np.array([[2.95, 4.98], [3.28, 4.88], [3.84, 4.59], [4.47, 4.09], [2.1,5.1], [5.4, 1.8]])
Xi = points[:,0]
Yi = points[:,1]

#known [Xc,Yc] = [2.1, 1.8]
R = 3.3

with pm.Model() as Cir_model:
    
    Xc = pm.Uniform('Xc', lower=-20, upper=20)
    Yc = pm.Uniform('Yc', lower=-20, upper=20)
    
    Ri = pm.math.sqrt((Xi-Xc)**2 + (Yi-Yc)**2)
    
    y = pm.Normal('y', mu=R, sd=1.0, observed=Ri)
    
    samples = pm.fit(random_seed=2020).sample(1000)
    
    pm.plot_posterior(samples, var_names=['Xc'])
    pm.plot_posterior(samples, var_names=['Yc']);

虽然这段代码运行并给了我一些东西，但它显然不能正常工作，这并不奇怪，因为在 'observed' 数据中输入变量 (Ri) 似乎是不对的.然而，虽然我知道我的模型设置存在严重错误（以及我更普遍的理解），但我似乎无法识别它。非常感谢任何帮助！

Answer 1

此模型实际上运行良好，但您可能需要改进以下几点：

使用变量作为观察值并不好，因为您应该考虑它对您拟合的分布有何影响。它将符合 a 分布，但您应该考虑是否在先验和似然中重复计算变量。不过对于这个玩具模型来说，这并不重要！
您正在使用 pm.fit(...)，它使用 variational inference，但 MCMC 在这里没问题，所以用 samples = pm.sample() 替换整行是可行的。
你提供的points几乎正好在一个圆上——经验标准差在0.004左右，但你提供的标准差很可能是1：真实值的250倍左右！按原样从模型中采样允许点的中心位于两个不同的位置：

如果将可能性更改为 y = pm.Normal('y', mu=R, sd=0.01, observed=Ri)，您仍然会得到两个可能的中心，尽管在真正的中心附近有更多的质量：

最后，您可以采取一种方法，在量表上放置先验知识，并学习到最有原则的和给出的结果最接近真实结果.这是模型：

with pm.Model():
    Xc = pm.Uniform('Xc', lower=-20, upper=20)
    Yc = pm.Uniform('Yc', lower=-20, upper=20)
    Ri = pm.math.sqrt((Xi-Xc)**2 + (Yi-Yc)**2)
    obs_sd = pm.HalfNormal('obs_sd', 1)
    y = pm.Normal('y', mu=R, sd=obs_sd, observed=Ri)
    
    samples = pm.sample()

这是输出：

变量可以用作 PyMC3 模型中的 'observed' 数据吗？

Can a variable be used as 'observed' data in a PyMC3 model?

python

bayesian

pymc3

mcmc