这段小代码的时间复杂度是多少？

Question

这段小代码的时间复杂度是多少？

int count = 0;
for (int i = n; i > 0; i = i/2) {
    for (int j = 0; j < i; j++) {
        count++;
    }
}

我想知道这段代码的时间复杂度。对我来说，我计算为 O(n log n) 因为外循环运行 logn 次而内循环运行 O(n) 次。但我很困惑，因为内循环 j 取决于 i。 那么实际的时间复杂度是多少？为什么？

Answer 1

确切的总和是

n + n/2 + n/4 + ... + 1

这是

n * (1 + 1/2 + 1/4 + ... + 1/n)

众所周知1/2的非负幂之和在极限上趋近于2，所以总和趋近2*n。结果，复杂度为O(n)； i 下降速度足以避免 linarithmic 增长。

Answer 2

n + n/2 + n/4 + ... + 1 = 2n，所以这是 O(n)。

Answer 3

iteration         | inner loop steps
    0             |        n
    1             |        n/2
    2             |        n/4
    3             |        n/8
    4             |        n/16
    .
    .
    .
    .
    log(n)        |        n/(2^logn) = 1
     
n + n/2 + n/4 + n/8 ... + 1 = n(1 + 1/2 + 1/4 + ... 1/n) 

这是 O(n) 作为 per

1/2 + 1/4 + 1/8 + ....

收敛于 1。