制作一个函数来进行傅里叶逆变换

Question

我正在尝试通过制作自己的函数来进行傅里叶逆变换。这是对我的时间序列进行傅里叶变换的函数，它看起来工作正常。

def DFT(x, frequencies):
    N1 = x.size
    k = frequencies.size
    t = np.arange(N1)
    fourier = np.zeros(k)
    for i in range(0,k):
        fourier[i] = np.dot(x,(1/k)*np.exp(-2j*np.pi*frequencies[i]*t))
    return fourier

这是我的原始信号（只是一个正弦波）：

N2 = 1*10**6
time = np.arange(0,N2,1000)
lam = .1*10**6
f = 1/lam
freq = np.arange(0,.05,.0001)


signal = np.sin(2*np.pi*f*time)

功率谱是使用我的 DFT（傅立叶函数）绘制的：

plt.plot(freq, np.abs(DFT(signal,freq))**2)
plt.xlabel('Frequency')
plt.title('Spectrum of Sine Wave')
plt.grid()
plt.show()

但是当我尝试将我的函数应用于逆傅立叶变换时，我没有得到原来的正弦波：

def IFT(fft, frequencies):
    N = fft.size
    k = frequencies.size
    n = np.arange(N)
    inverse_fourier = np.zeros(k)
    for i in range(0,k):
        inverse_fourier[i] = np.dot(fft,np.exp((-2j*np.pi*frequencies[i]*n)/N)) #[None,:]
    return inverse_fourier

我的功能有什么问题？我没有收到任何错误，但返回的信号完全错误。

Answer 1

在你的倒数中，指数应该是正的（2j 而不是 -2j）并删除 /N，它给出（添加的图表用于演示）：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def DFT(x, frequencies):
    N1 = x.size
    k = frequencies.size
    t = np.arange(N1)
    fourier = np.zeros(k)
    for i in range(0,k):
        fourier[i] = np.dot(x, (1/k)*np.exp(-2j*np.pi*frequencies[i]*t))
    return fourier

def IFT(fft, frequencies):
    N = fft.size
    k = frequencies.size
    n = np.arange(N)
    inverse_fourier = np.zeros(k)
    for i in range(0,k):
        inverse_fourier[i] = np.dot(fft, np.exp((2j*np.pi*frequencies[i]*n))) #[None,:]
    return inverse_fourier

N2 = 1*10**6
time = np.arange(0,N2,2000)
lam = .1*10**6
f = 1/lam
freq = np.arange(0,.05,.0001)

signal = np.sin(2*np.pi*f*time)

plt.plot(time, signal)
plt.xlabel('Time')
plt.title('Sine Wave')
plt.grid()
plt.show()

dft = DFT(signal, freq)

plt.plot(freq, np.abs(dft)**2)
plt.xlabel('Frequency')
plt.title('Spectrum of Sine Wave')
plt.grid()
plt.show()

plt.plot(time, IFT(dft, freq))
plt.xlabel('Time')
plt.title('Sine Wave')
plt.grid()
plt.show()

给出（省略第一个正弦图）：

和

Answer 2

运行你编码你应该得到以下警告：

ComplexWarning: Casting complex values to real discards the imaginary part
  fourier[i] = np.dot(x,(1/k)*np.exp(-2j*np.pi*frequencies[i]*t))

由于生成的傅立叶变换的值应该是复数，因此应该引起关注。要消除此警告，您可以像这样初始化 fourier：

fourier = np.zeros(k, dtype=complex)

Discrete Fourier Transform 的公式还包括覆盖整个 [0,1) 范围的频率求和。要获得 1000 点的 DFT（正如您在代码中所做的那样），您必须使用

freq = np.arange(0,1,.001)

这将导致包含 2 个尖峰的频谱：一个位于预期频率，另一个对称高于奈奎斯特频率。在绘制实值信号的频谱时，通常会丢弃高于奈奎斯特频率的结果（但将完整频谱用于 IFT 函数）。

最后，如GrimTrigger ：

your inverse the exponent should be positive (2j instead of -2j) and drop the /N

制作一个函数来进行傅里叶逆变换

Making a function to take the inverse fourier transform

python

numpy

fft

jupyter