Pure Prolog Peano Number Apartness

Question

让我们假设有 pure_2 Prolog with dif/2 和 pure_1 Prolog without dif/2。我们能否意识到值的 Peano apartness，即 Peano 数，不使用 dif/2？因此，假设我们在 pure_2 Prolog:

中有这样的 Peano 分离度

/* pure_2 Prolog */
neq(X, Y) :- dif(X, Y).

我们能否用更纯粹的定义替换 neq(X,Y)，即来自不使用 dif/2 的 pure_1 Prolog？所以我们有一个终止谓词 neq/2 可以决定 Peano 数的不等式？那么它的定义是什么？

/* pure_1 Prolog */
neq(X, Y) :- ??

Answer 1

使用中的 less：

less(0, s(_)).
less(s(X), s(Y)) :- less(X, Y).

neq(X, Y) :- less(X, Y); less(Y, X).

Answer 2

我想到了别的东西，它来自Peano Axioms中的两个，这也是鲁滨逊算术的一部分。第一个公理已经是一个 Horn 子句，讲的是 apartness:

   ∀x(0 ≠ S(x)) 

   ∀x∀y(S(x) = S(y) ⇒ x = y)

对第二个公理应用对立给出。
公理现在是一个 Horn 子句，谈论的是独立性：

   ∀x∀y(x ≠ y ⇒ S(x) ≠ S(y))

现在我们已经准备好编写一些 Prolog 代码了。
添加一些对称性我们得到：

neq(0, s(_)).
neq(s(_), 0).
neq(s(X), s(Y)) :- neq(X, Y).

以下是一些示例查询。谓词是否留下选择
点取决于 Prolog 系统。我得到：

SWI-Prolog 8.3.15（一些选择点）：

?- neq(s(s(0)), s(s(0))).
false.

?- neq(s(s(0)), s(0)).
true ;
false.

Jekejeke Prolog 1.4.6（无选择点）：

?- neq(s(s(0)), s(s(0))).
No

?- neq(s(s(0)), s(0)).
Yes

prolog