使用 numpy 求解 Gram 矩阵上的线性方程
Solve linear equations on a Gram matrix with numpy
考虑这样一种情况，给定一个 MxM 矩阵 A 和一个向量 b，我想求解 inv(A @ A.T) @ b 形式的问题（我知道 A 是可逆的）。
据我所知，使用 solve_* 总是比 inv 更快。还有一些变体可以更有效地求解 PSD 矩阵（A @ A.T 必须是），使用 Cholesky 分解。
我的问题 - 因为我正在构建矩阵 A @ A.T 只是为了立即将其丢弃 - 是否有更专门的程序来使用 A 的克矩阵求解线性方程而无需构建它？
您可以计算 A 的因式分解，然后用它来求解您的系统。
假设我们要求解
A A^T x = b
对于 x。
计算 A=LU 的因式分解。
然后解决 Ay=b 为 y。
然后解决 A^T x = y 为 x.
这样您就不必计算矩阵 A^T A。
请注意，如果对 A=LU 进行因式分解，则可以有效地求解 Ax=b 以及 A^T x=b x。
这是因为 A^T=U^T L^T 又是下三角矩阵乘以上三角矩阵的因式分解。
考虑这样一种情况，给定一个 MxM 矩阵 A 和一个向量 b，我想求解 inv(A @ A.T) @ b 形式的问题（我知道 A 是可逆的）。
据我所知，使用 solve_* 总是比 inv 更快。还有一些变体可以更有效地求解 PSD 矩阵（A @ A.T 必须是），使用 Cholesky 分解。
我的问题 - 因为我正在构建矩阵 A @ A.T 只是为了立即将其丢弃 - 是否有更专门的程序来使用 A 的克矩阵求解线性方程而无需构建它？
您可以计算 A 的因式分解，然后用它来求解您的系统。
假设我们要求解
A A^T x = b
对于 x。
计算 A=LU 的因式分解。
然后解决 Ay=b 为 y。
然后解决 A^T x = y 为 x.
这样您就不必计算矩阵 A^T A。
请注意，如果对 A=LU 进行因式分解，则可以有效地求解 Ax=b 以及 A^T x=b x。
这是因为 A^T=U^T L^T 又是下三角矩阵乘以上三角矩阵的因式分解。