"One after the other"离散随机变量的实现

Question

我遇到了以下问题：

给定n+1个离散随机变量：

X = {1,...,n} with P(x=i) = p_i
Y_i = {1,...,n_i} with P(y_i = j) = p_ij and i = 1,...,n

我们执行以下操作：

我们从 X 中抽取，结果决定了我们为下一步选择哪个 Y_i：如果 x = a，我们使用 Y_a。
我们从中得出 Y_a。

现在我的问题是：

如何得到整体的期望值和方差？
这个“过程”可以由单个随机变量定义吗？
假设我们只知道所有 Y_i 的 EV 和 Var，但不知道所有（甚至 none）的概率。还能算出整个过程的EV和Var吗？
如果 2) 可以做到，如何在 R 中高效地做到这一点？

举个我试过的例子：

X = {1,2} with P(x = 1) = 0.3 and P(x = 2) = 0.7
Y_1 = {2,3} with P(y_1 = 1) = 0.5 and P(y_1 = 3) = 0.5
Y_2 = {1,5,20} with P(y_2 = 1) = 0.3, P(y_2 = 5) = 0.6 and P(y_2 = 20) = 0.1

我试图将它们组合成一个随机变量 Z，但我不确定是否可以这样做：

Z = {2,3,1,5,20} with probabilities (0.5*0.3, 0.5*0.3, 0.3*0.7, 0.6*0.7, 0.1*0.7)

加权EV是正确的，但“加权”Var是不同的-如果使用线性组合的Var公式对独立随机变量是正确的。（也许只是组合 Var 的公式是错误的。）

我使用了 R 和包“discreteRV”：

install.packages("discreteRV")
library(discreteRV)

#defining the RVs
Y_1 <- RV(outcomes = c(2, 3), probs = c(0.5, 0.5)) #occures 30% of the time
Y_2 <- RV(outcomes = c(1, 5, 20), probs = c(0.3, 0.6, 0.1)) #occures 70% of the time

Z <- RV(outcomes = c(2, 3, 1, 5, 20), 
        probs = c(0.5*0.3, 0.5*0.3, 0.3*0.7, 0.6*0.7, 0.1*0.7))


#calculating the EVs
E(Z)
E(Y_1)*0.3 + E(Y_2)*0.7

#calculating the VARs
V(Z)
V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2

感谢您的帮助。

Answer 1

实际上Z有一个更大的样本space扩展了Y1和Y2，这不是两个分量的线性叠加。换句话说，我们应该像 Z = [0.3*Y1, 0.7*Y2] 一样呈现 Z 而不是 Z = 0.3*Y1 + 0.7*Y2.

因为我们有

V(Z) = E(Z**2)-E(Z)**2

> E(Z**2) -E(Z)**2
[1] 20.7684

> V(Z)
[1] 20.7684

我们很容易发现，在E(Z)**2项中，Y1和Y2之间存在叉积项，使得V(Z) != V(Y_1)*(0.3)^2 + V(Y_2)*(0.7)^2.

"One after the other"离散随机变量的实现

"One after the other" realisation of discrete random variables

statistics

r

probability

stochastic