生成与现有变量具有预定义相关性的二元变量

Question

对于模拟研究，我想生成一组随机变量（连续变量和二进制变量），这些随机变量与已经存在的 binary 变量具有预定义的关联，此处表示为 x.

对于这个 post，假设 x 是按照下面的代码生成的。但请记住：在现实生活中，x 是一个已经存在的变量。

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)

我想同时生成二元变量和连续变量。我已经想出如何生成一个连续变量（见下面的代码）

set.seed(1245)

cor <- 0.8 #Correlation 
y <- rnorm(1000, cor*x, sqrt(1-cor^2))

但我找不到生成与现有变量相关的二进制变量的方法 x。我发现了几个 R 包，例如 copula 可以生成具有给定依赖结构的随机变量。但是，它们不提供生成对已存在变量具有集合依赖性的变量的可能性。

有谁知道如何有效地做到这一点？

谢谢！

Answer 1

这是一个二项式 - q 的公式仅取决于 x 的平均值和您想要的相关性。

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- 1/((1-p)/cor^2+p)
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y
cor(x,z)
#> [1] 0.7984781

这不是唯一的方法 - 请注意，在此构造中 mean(z) 始终小于 mean(x)。

连续变量的定义更不明确 - 你真的不关心它的 mean/variance 或其他任何关于它的分布吗？

这是另一个简单的版本，它双向翻转变量：

set.seed(1245)
cor <- 0.8
x <- rbinom(100000, 1, 0.6)
p <- mean(x)
q <- (1+cor/sqrt(1-(2*p-1)^2*(1-cor^2)))/2
y <- rbinom(100000, 1, q)
z <- x*y+(1-x)*(1-y)
cor(x,z)
#> [1] 0.8001219
mean(z)
#> [1] 0.57908

Answer 2

如果我们看一下相关公式：

对于新向量y，如果我们保留均值，问题更容易解决。这意味着我们复制向量 x 并尝试翻转相等数量的 1 和 0 以获得预期的相关值。

如果我们让 E(X) = E(Y) = x_bar 和 E(XY) = xy_bar，那么对于给定的 rho，我们将上面的简化为：

(xy_bar - x_bar^2) / (x_bar - x_bar^2) =  rho

求解得到：

xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2

我们可以推导一个函数来翻转多个 1 和 0 以获得结果：

create_vector = function(x,rho){

  n = length(x)
  x_bar = mean(x)
  xy_bar = rho * x_bar + (1-rho)*x_bar^2
  toflip = sum(x == 1) - round(n * xy_bar)

  y = x
  y[sample(which(x==0),toflip)] = 1
  y[sample(which(x==1),toflip)] = 0
  return(y)
}

对于您的示例，它有效：

set.seed(1245)
x <- rbinom(1000, 1, 0.6)
cor(x,create_vector(x,0.8))
[1] 0.7986037

有一些预期的 rho 和 p 的极端组合，您可能运行会遇到问题，例如：

set.seed(111)

res = lapply(1:1000,function(i){
             
              this_rho = runif(1)
              this_p = runif(1)
              x = rbinom(1000,1,this_p)
              data.frame(
                intended_rho = this_rho,
                p = this_p,
                resulting_cor = cor(x,create_vector(x,this_rho))
              )
           })

res = do.call(rbind,res)

ggplot(res,aes(x=intended_rho,y=resulting_cor,col=p)) + geom_point()

生成与现有变量具有预定义相关性的二元变量

Generate a binary variable with a predefined correlation to an already existing variable

r

data-generation