Sympy：在有限域中求解矩阵

Question

对于我的项目，我需要在给定矩阵 Y 和 K 的情况下求解矩阵 X。(XY=K) 每个矩阵的元素必须是对随机 256 位素数取模的整数。我第一次尝试使用 SymPy 的 mod_inv(n) 函数来解决这个问题。这个问题是我运行内存不足，矩阵大小约为 30。我的下一个想法是执行矩阵分解，因为这可能不会占用太多内存。但是，SymPy 似乎不包含可以找到模数矩阵的求解器。我可以使用任何解决方法或自制代码吗？

Answer 1

sympy 的 Matrix class 支持 mod 逆元。这是一个示例 modulo 5:

from sympy import Matrix, pprint

A = Matrix([
    [5,6],
    [7,9]
])

#Find inverse of A modulo 26
A_inv = A.inv_mod(5)
pprint(A_inv)

#Prints the inverse of A modulo 5:
#[3  3]
#[    ]
#[1  0]

用于查找行简化阶梯形式的 rref 方法支持关键字 iszerofunction，该关键字指示矩阵中的哪些条目应被视为零。尽管我不确定，但我相信预期用途是为了数值稳定性（将小数视为零）。我用它来 mod 缩小角。

这是一个例子 modulo 5:

from sympy import Matrix, Rational, mod_inverse, pprint

B = Matrix([
        [2,2,3,2,2],
        [2,3,1,1,4],
        [0,0,0,1,0],
        [4,1,2,2,3]
])

#Find row-reduced echolon form of B modulo 5:
B_rref = B.rref(iszerofunc=lambda x: x % 5==0)

pprint(B_rref)

# Returns row-reduced echelon form of B modulo 5, along with pivot columns:
# ([1  0  7/2  0  -1], [0, 1, 3])
#  [                ]
#  [0  1  -2   0  2 ]
#  [                ]
#  [0  0   0   1  0 ]
#  [                ]
#  [0  0  -10  0  5 ]

这有点正确，除了 rref[0] 返回的矩阵中仍然有 5 和分数。通过采用 mod 并将分数解释为 mod 倒数来处理此问题：

def mod(x,modulus):
    numer, denom = x.as_numer_denom()
    return numer*mod_inverse(denom,modulus) % modulus

pprint(B_rref[0].applyfunc(lambda x: mod(x,5)))

#returns
#[1  0  1  0  4]
#[             ]
#[0  1  3  0  2]
#[             ]
#[0  0  0  1  0]
#[             ]
#[0  0  0  0  0]

Sympy：在有限域中求解矩阵

Sympy: Solving Matrices in a finite field

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