编写一个计算欧拉数的算法，直到

Question

我的算法课程教授给我布置了以下作业：

Write a C/C++ program that calculates the value of the Euler's number (e) with a given accuracy of eps > 0.

Hint: The number e = 1 + 1/1! +1/2! + ... + 1 / n! + ... = 2.7172 ... can be calculated as the sum of elements of the sequence x_0, x_1, x_2, ..., where x_0 = 1, x_1 = 1+ 1/1 !, x_2 = 1 + 1/1! +1/2 !, ..., the summation continues as long as the condition |x_(i+1) - x_i| >= eps is valid.

正如他进一步解释的那样，eps 是算法的精度。例如，精度可以是 1/100 |x_(i + 1) - x_i| = ( x_(i+1) - x_i )

的绝对值

目前，我的程序如下所示：

#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<math.h>
#include<vector>

// Euler's number

using namespace std;

double factorial(double n)
{
    double result = 1;
    for(double i = 1; i <= n; i++)
    {
        result = result*i;

    }
    return result;
}

int main()
{
    long double euler = 2;
    long double counter = 2;
    float epsilon = 2;
    do
    {
        euler+= pow(factorial(counter), -1);
        counter++;
    }
    while( (euler+1) - euler >= epsilon);
    cout << euler << endl;
    return 0;
}

当我实现停止条件|x_(i+1) - x_i|时，问题就来了> = eps（行 where while( (euler+1) - euler >= epsilon);）输出是 2.5 而不是 2.71828

Answer 1

|x_(i+1) - x_i| > = eps 表示“next 值 x (x_(i+1)) 与 current x (x_i) 的值大于或等于 epsilon"。

您的代码正在将 one 添加到 x 并检查一个非常不同的条件：

(euler+1) - euler >= epsilon

这意味着：“迭代直到 euler + 1（不是 euler 的下一个值！）减去当前值是...”，它与原来的状态大不相同。此外，(euler+1) - euler == 1，因此您正在检查 epsilon 是否小于常数 1.

Answer 2

OP 在他们的两次尝试实施中都遗漏了几件事。

the summation continues as long as the condition |x_i+1 - x_i| >= eps is valid.

现在，如果我们考虑发布的系列，那有什么不同？

x₀ = 1, x₁ = 1 + 1 / 1!, x₂ = 1 + 1/1! +1/2!, ...
|x₁ - x₀| = 1 / 1!, |x₂ - x₁| = 1 / 2!, ..., |x_i - x_{i - 1}| = 1 / i!

这样条件就变成了1/i！ >= 每股收益
函数factorial在每次迭代中调用多次，而我们可以通过几次操作轻松计算欧拉数的新近似值

term /= ++i
euler += term

当通过operator<<输出浮点数时，它以默认位数表示。要查看更多，我们可以使用像 std::setprecision 这样的 input/output 操纵器。这不会影响该数字的内部表示，也不会影响涉及它的任何计算的实际精度，它只是一个格式说明符。

像 double 这样的浮点类型的精度（和范围）是有限的，而阶乘增长得非常快。在某个时候，1/i！将非常小，以至于 euler += 1/i! 在数值上等同于 euler 的先前值。参见例如以下结果，使用double变量

获得

 1   2
 2   2.5
 3   2.666666666666666518636930049979127943515777587890625
 4   2.70833333333333303727386009995825588703155517578125
 5   2.716666666666666341001246109954081475734710693359375
 6   2.718055555555555447000415369984693825244903564453125
 7   2.71825396825396836675281520001590251922607421875
 8   2.718278769841270037233016410027630627155303955078125
 9   2.71828152557319224769116772222332656383514404296875
10   2.718281801146384513145903838449157774448394775390625
11   2.71828182619849290091451621265150606632232666015625
12   2.71828182828616871091753637301735579967498779296875
13   2.718281828446759362805096316151320934295654296875
14   2.71828182845823018709552343352697789669036865234375
15   2.718281828458994908714885241352021694183349609375
16   2.7182818284590428703495490481145679950714111328125
17   2.71828182845904553488480814849026501178741455078125
18   2.71828182845904553488480814849026501178741455078125
19   2.71828182845904553488480814849026501178741455078125
20   2.71828182845904553488480814849026501178741455078125

     2.718281828459045090795598298427648842334747314453125    <--- std::numbers::e

请注意，计算值与 std::numbers::e 之间的差异大致为 +4.4e-16（实际上是 next 可表示的 double 值）。

完整的代码（包含所有需要的初始化）留给 reader 来编写。

编写一个计算欧拉数的算法，直到

Write an algorithm that compute the Euler's number until

c++

algorithm

factorial

eulers-number