这是一个好的幺半群动作吗？

Question

我想我可能偶然发现了一个将军，尽管有点堕落，monoid action。伪Haskell:

instance (Monoid m, Monoid n) => Act m n where
    act mempty x = x  -- let's pretend that we can use `mempty` as a pattern
    act _ _ = mempty

m 对 n 的操作是将 n 设置为 mempty，除非 m 本身为空。

这是一个守法的幺半群动作吗？它以前是由我以外的人发明的吗？如果有，它叫什么名字？

Answer 1

它看起来不像一个幺半群动作，至少在一般情况下是这样。如果是，我们应该具有以下属性：

-- law 1
act mempty            x = x
-- law 2
act (m1 <> m2) x = act m1 (act m2 x)

并且，由于在伪实例中定义了 act 的方式：

-- property 1
act x y = mempty
   when x /= mempty

取m和n为Sum Int，是一个幺半群

我们有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of mempty }
act mempty (Sum 1)
= { law 1 }
Sum 1

我们还有

act (Sum 0) (Sum 1)
= { definition of <> on Sum }
act (Sum (-2) <> Sum 2) (Sum 1)
= { law 2 }
act (Sum (-2)) (act (Sum 2) (Sum 1))
= { property 1, given Sum (-2) /= mempty }
mempty
= { definition of mempty }
Sum 0

导致两个不兼容的结果。

另一方面，当 m 是一个幺半群时，其中没有（非平凡的）元素具有逆元素，例如[a]，那么你的 act 看起来是一个正确的动作。

这是一个好的幺半群动作吗？

Is this a good monoid action?

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