我怎样才能解决 $n*log_2(n)$ 与 $n^{log_3(4)}$ 的酸橙
how can I solve the limes of $n*log_2(n)$ vs $n^{log_3(4)}$
我想手动计算这两个函数（$n*log_2(n)$ vs. $n^{log_3(4)}$）中哪个函数的渐近递增更高无需使用计算器或任何软件。
到目前为止我的方法是：
lim n-> inf: \frac {$n*log:2(n)$} {$n^{log_3(4)}$}
现在使用 L´Hospital 并导出每个函数：
\frac {$log_2(n)$ + $1/ln(2)n$ } {$log_3(4) n^{log_3(4) -1}}
现在再次使用 L´Hospital：
\frac {$1/(ln(2)*n)$ + $1/(ln(2)*n) $} {$1/ln(3)4 $ * $n^{log_3(4)- 1}$ + $log_3(4)-1 * n^{log_3(4)-2} * log_3(4) $}
我的问题：如果我这样计算，它会导致错误的解决方案。有谁知道如何正确解决这个问题？
编辑：我还注意到您的一阶导数不正确。
您对 L'Hopitals 规则的一阶导数和二阶求值不正确。
您开始于：
f(n)=n*log2(n)
g(n)=n^(log3(4))
这给出：
f'(n)=log2(n) + n * (1/ln(2)) * n^(-1)
=log2(n) + 1/ln(2)
g'(n)=log3(4) * n^(log3(4)-1)
这给出：
f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g''(n)=log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)
如果你在第一个导数中出错，你会得到 f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1) - (1/ln(2)) * n^ (-2)，它仍然允许您分解出 n 并得到相同的最终结果。
现在你有 n 个，你可以把它分解出来：
f''(n)/g''(n) = 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2+1)]
= 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1)] * n^(1-log3(4))]
现在可以表示为：
k * n^(1-log3(4)) 其中 k>0.
接近无穷大的极限是 0。这意味着 n^log3(4) 的渐近线大于 n * log2(n).
或者，您可以先简化。
请注意，两者都有一个可以删除的因子 n，因此您可以：
f(n)=log2(n)
g(n)=n^(log3(4)-1)
f'(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g'(n)=(log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)
f'(n)/g'(n) = (1/ln(2)) * n^(-1-log3(4)+2)/(log3(4)-1)
=(1/ln(2)) * n^(1-log3(4))/(log3(4)-1)
同样，极限为 0，这意味着 n^(log3(4)) 具有更大的渐近线。
唯一需要额外知道的是 log3(4) 大于 1，因为 4 大于 3。
这意味着 (log3(4)-1)>0 和 (1-log3(4))<0.
还要记住，正确的结果可能不是你想的那样。当 n~= 30 000
时，这两个方程交叉
另外，我不确定这是属于这里还是属于数学。
我想手动计算这两个函数（$n*log_2(n)$ vs. $n^{log_3(4)}$）中哪个函数的渐近递增更高无需使用计算器或任何软件。
到目前为止我的方法是：
lim n-> inf: \frac {$n*log:2(n)$} {$n^{log_3(4)}$}
现在使用 L´Hospital 并导出每个函数： \frac {$log_2(n)$ + $1/ln(2)n$ } {$log_3(4) n^{log_3(4) -1}}
现在再次使用 L´Hospital： \frac {$1/(ln(2)*n)$ + $1/(ln(2)*n) $} {$1/ln(3)4 $ * $n^{log_3(4)- 1}$ + $log_3(4)-1 * n^{log_3(4)-2} * log_3(4) $}
我的问题：如果我这样计算，它会导致错误的解决方案。有谁知道如何正确解决这个问题？
编辑：我还注意到您的一阶导数不正确。
您对 L'Hopitals 规则的一阶导数和二阶求值不正确。
您开始于：
f(n)=n*log2(n)
g(n)=n^(log3(4))
这给出：
f'(n)=log2(n) + n * (1/ln(2)) * n^(-1)
=log2(n) + 1/ln(2)
g'(n)=log3(4) * n^(log3(4)-1)
这给出：
f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g''(n)=log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)
如果你在第一个导数中出错，你会得到 f''(n)=(1/ln(2)) * n^(-1) - (1/ln(2)) * n^ (-2)，它仍然允许您分解出 n 并得到相同的最终结果。
现在你有 n 个，你可以把它分解出来：
f''(n)/g''(n) = 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1) * n^(log3(4)-2+1)]
= 1/[ln(2) * log3(4) * (log3(4)-1)] * n^(1-log3(4))]
现在可以表示为：
k * n^(1-log3(4)) 其中 k>0.
接近无穷大的极限是 0。这意味着 n^log3(4) 的渐近线大于 n * log2(n).
或者，您可以先简化。
请注意，两者都有一个可以删除的因子 n，因此您可以：
f(n)=log2(n)
g(n)=n^(log3(4)-1)
f'(n)=(1/ln(2)) * n^(-1)
g'(n)=(log3(4)-1) * n^(log3(4)-2)
f'(n)/g'(n) = (1/ln(2)) * n^(-1-log3(4)+2)/(log3(4)-1)
=(1/ln(2)) * n^(1-log3(4))/(log3(4)-1)
同样，极限为 0，这意味着 n^(log3(4)) 具有更大的渐近线。
唯一需要额外知道的是 log3(4) 大于 1，因为 4 大于 3。 这意味着 (log3(4)-1)>0 和 (1-log3(4))<0.
还要记住，正确的结果可能不是你想的那样。当 n~= 30 000
时，这两个方程交叉另外，我不确定这是属于这里还是属于数学。