查找具有连续差异的数组中的子序列总数 = k

Question

在给定的数组中，我试图找到满足以下条件的子序列总数：

连续项之间的差不大于3
子序列的第一个元素是数组的第一个元素
子序列的最后一个元素是数组的最后一个元素

例如，在一个数组中：[10,13,7,8,14,200, 876, 11]，它有5个满足上述条件的子序列。

我正在尝试一种自下而上的方法。我尝试了以下，但它没有给出所有的子序列和输出 4 而不是 5。

我该如何解决这个问题？我有一种直觉，该方法可能类似于最长递增子序列，但不确定如何。

Answer 1

令f(i)为满足以下条件的子序列数：

从 A[0] 开始
以A[i]结束
连续项之间的差不大于3

那么你问题的答案就是 f(A.length()-1).

以下是采用自下而上方法的 C++ 代码：

int A[] = {10,13,7,8,14,11};
int f[6];
int n = 6;
    
for (int i=0;i<n;i++) f[i] = 0;
f[0]=1;
for (int i=1;i<n;i++){
  for (int j=0;j<i;j++){
     if (abss(A[i] - A[j]) <= 3)
         f[i] += f[j];
  }
}
cout<<f[n-1]<<endl;//printing the result

这里是用 C++ 自顶向下方法编写的代码：

int A[] = {10,13,7,8,14,11};
int n = 6;

int memo[6];//initialized with -1s;

int count(int currIndex){
  if (currIndex == n-1) return 1;
  if (memo[currIndex] != -1) return memo[currIndex];
  
  int res = 0;
  for (int i=currIndex+1 ; i<n ; i++){
      if (abss(A[currIndex] - A[i]) <= 3){
            res += count(i);
      }
  }
    
  memo[currIndex] = res;
  return res;
}

结果将通过在第一个索引处调用计数，如下所示：

count(0);

Answer 2

@VFX 已经提出了 O(N^2) 的解决方案，但在大多数情况下，首选优化算法。所以这里有一个 O(K*N) 解决方案。
假设子序列中的第一个元素是 x。下一个元素必须在 [x-k, x+k] 范围内。如果您知道该范围内所有值的有效序列数，您也可以在 O(K) 中找到当前元素的答案。
更正式地说，该算法将是：

arr = []              // your list
counter = {}          // a dictionary or hashmap to keep count of sequences
counter[arr[-1]] = 1
for i in range (len(arr)-2 to 0):
    curr_element = a[i]
    sequences = 0
    for x in range (curr_element-k to curr_element+k):
        sequences += counter[x]
    counter[curr_element] += sequences

final_answer = counter[arr[0]]

Answer 3

我刚刚注意到@Abhinav 的回答是将解决方案优化为 O(K*N) 而不是 O(N^2) 这对于小型 K.
来说效果很好但是，如果需要最佳解决方案，我建议使用 O(N*log2(N)) 解决方案，在 [x-k,x+k] 范围内找到总和可以使用 Segment Tree or Binary Indexed Tree(Fenwick Tree) 在 log2(N) 中完成，其中范围求和查询 (RSQ) 是这两个数据结构提供的标准操作。

如果初始数组中的值很大（如 long 或 double），可以借助 Map 进行数据压缩。
在这种方法中，您无需担心 K 即使它太大了。

查找具有连续差异的数组中的子序列总数 = k

Finding total number of subsequences in an array with consecutive difference = k

javascript

arrays

algorithm

dynamic-programming

subsequence