求解广义特征向量和特征值以获得共同基础

Question

我正在寻找在 Matlab 中求解广义特征向量和特征值问题的方法。为此，我测试了2种方法。

如果广义问题表述为：

然后，我们可以在每边乘以B^(-1)，例如：

所以，从理论上讲，就是简单经典的特征值问题

最后，在 Matlab 中，我用 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 简单地做了：

[Phi, Lambda] = eig(inv(FISH_xc)*FISH_sp);

但是当我在一个简单的 Fisher 合成之后做出结果时，结果不正确（约束太糟糕并且还使出现 nan 值。我不知道为什么我没有得到与下面是第二个。

第二种方法来自以下paper.

总而言之，第 7 页描述了所用的算法。我遵循了该算法的所有步骤，并且在进行 Fisher 合成时它似乎给出了更好的结果。

这里是感兴趣的部分（抱歉，我认为 Latex 在 stakoverflow 上不可用）：

这是我用于此方法的小 Matlab 脚本：

% Diagonalize A = FISH_sp and B = Fish_xc
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Applying each  step of algorithm 1 on page 7
phiB_bar = V2*(D2.^(0.5)+1e-10*eye(7))^(-1);
barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar;
[phiA, vA] = eig(barA);
Phi = phiB_bar*phiA;

最后，我找到了 phi 特征向量矩阵 (phi) 和 lambda 对角矩阵 (D1)。

现在，我想在这个广义问题和 A 和 B 矩阵之间的最终公共特征向量（分别是 Fish_sp 和 Fish_xc 之间做 link ).有没有办法执行此操作？

的确，我到现在为止所做的就是找到A*Phi和B*Phi之间的平行关系，link由Lambda对角矩阵。也许，我们可以这样安排这种关系：

A*Phi'=Phi'*Lambda_A'

和

B*Phi'=Phi'*Lambda_B'

从数值的角度来看，为什么 1) 的方法和 3) 的方法得到的结果不一样？我的意思是 Phi 特征向量矩阵和 Lambda 对角矩阵。

但是，这是相同的公式。

编辑：

如果我想说 phi 对角化了 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 矩阵，我得到了错误的结果。

的确，通过这样做：

% Marginalizing over uncommon parameters between the two matrices
COV_GCsp_first = inv(FISH_GCsp);
COV_XC_first = inv(FISH_XC);
COV_GCsp = COV_GCsp_first(1:N,1:N);
COV_XC = COV_XC_first(1:N,1:N);
% Invert to get Fisher matrix
FISH_sp = inv(COV_GCsp);
FISH_xc = inv(COV_XC);
% Diagonalize
[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Build phi matrix
% V2 corresponds to eigen vectors of FISH_xc
phiB_bar = V2*diag(diag(D2.^(-0.5)));
% DEBUG : check identity matrix => OK, Identity matrix found !
id = (phiB_bar')*FISH_xc*phiB_bar
% phi matrix
barA = (phiB_bar')*FISH_sp*phiB_bar
[phiA, vA] = eig(barA);
phi = phiB_bar*phiA;

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues found !
FISH_xc*V2./V2

% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_sp*phi./phi
% Check if phi diagolize FISH_sp : NOT OK, not identical eigenvalues 
FISH_xc*phi./phi

所以，我没有发现特征向量矩阵 Phi 使 A 和 B 对角化，因为预期的特征值不是相同值的列。

顺便说一下，我发现特征值 D1 和 D2 来自 :

[V1,D1] = eig(FISH_sp);
[V2,D2] = eig(FISH_xc);

% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D1 found !
FISH_sp*V1./V1
% Check eigen values : OK, columns of eigenvalues D2 found !
FISH_xc*V2./V2

我该如何解决这个错误的结果（我说的是比率：

FISH_sp*phi./phi
FISH_xc*phi./phi

FISH_sp 和 FISH_xc 的给定列不提供相同的值） ) ？？在论文中，他们说 phi 使 A=FISH_sp 和 B=FISH_xc 对角化，但我无法重现它。

如果有人能看到我的错误在哪里...

Answer 1

您定义了 barA = inv(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar。从等式。 (39) 在手稿中它看起来应该是 barA = transpose(phiB_bar)*FISH_sp*phiB_bar 而不是。

此外，当 B 是单数时，您的方法 1 失败（不存在逆）。但是，MATLAB 的 eig(A,B) 也应该处理单数 B，如果我没记错的话。

求解广义特征向量和特征值以获得共同基础

Solving Generalized eigenvectors and eigen values to get a common basis

matlab

linear-algebra

eigenvalue

eigenvector

diagonal