np.linalg.eig 对同一个矩阵给出不同的特征向量

Question

以下内容基于Python3.7.6.

我正在尝试使用名为 PySCF 的软件包来解决简单的计算化学问题。其中一项计算涉及对称为 Fock 矩阵的二维数组的评估。 PySCF 使用函数 get_fock() [1, 2] 生成它。对于我的一个测试用例，Fock 矩阵的计算结果为

F = [[ 2. -1.  0.  0.  0. -1.]
 [-1.  2. -1.  0.  0.  0.]
 [ 0. -1.  2. -1.  0.  0.]
 [ 0.  0. -1.  2. -1.  0.]
 [ 0.  0.  0. -1.  2. -1.]
 [-1.  0.  0.  0. -1.  2.]]

我尝试使用 energies, C = np.linalg.eig(F) 找到该矩阵的特征值和特征向量，它给出了以下特征向量矩阵：

C = [[-0.40824829  0.57735027  0.40824829  0.57735027  0.2468088   0.08939109]
 [ 0.40824829 -0.28867513  0.40824829  0.28867513 -0.57541553 -0.44927503]
 [-0.40824829 -0.28867513  0.40824829 -0.28867513  0.32860673 -0.53866612]
 [ 0.40824829  0.57735027  0.40824829 -0.57735027  0.2468088  -0.08939109]
 [-0.40824829 -0.28867513  0.40824829 -0.28867513 -0.57541553  0.44927503]
 [ 0.40824829 -0.28867513  0.40824829  0.28867513  0.32860673  0.53866612]]

然而，np.matmul(np.matmul(C.T,F),C) 应该 return 一个对角矩阵，其元素是 F 的特征值。这不是发生的事情，但我应该注意到 F 的 正确的特征值 （单独验证）确实存储在 energies.

中

然后我分配了另一个矩阵 F0 与 F 完全相同的元素（这次，硬编码到脚本中）。在这种情况下，np.linalg.eig(F0)实际上给了我一个不同的特征向量矩阵：

C0 = [[ 0.23192061  0.41790651 -0.52112089 -0.23192061  0.52112089 -0.41790651]
 [-0.41790651 -0.52112089  0.23192061 -0.41790651  0.23192061 -0.52112089]
 [ 0.52112089  0.23192061  0.41790651 -0.52112089 -0.41790651 -0.23192061]
 [-0.52112089  0.23192061 -0.41790651 -0.52112089 -0.41790651  0.23192061]
 [ 0.41790651 -0.52112089 -0.23192061 -0.41790651  0.23192061  0.52112089]
 [-0.23192061  0.41790651  0.52112089 -0.23192061  0.52112089  0.41790651]]

为了确保我没有发疯，我检查了 type of F 和 F0: <class 'numpy.ndarray'> 这两种情况。我还打印出 F-F0 ，这只是一个预期的 0 矩阵。我在下面粘贴了我的脚本，它改编自 PySCF 示例脚本之一 [3].

import numpy as np
from numpy import zeros, matrix
from pyscf import gto, scf, ao2mo, cc, tools

hubbard_U = 2.
hubbard_t = 1.

mol = gto.M(verbose=4)
n = n_basis = 6
mol.nelectron = 12
mol.verbose = 9
mol.incore_anyway = True

h1 = np.zeros((n,n))
for i in range(n-1):
    h1[i,i+1] = h1[i+1,i] = -hubbard_t # -ve Hubbard t
h1[n-1,0] = h1[0,n-1] = -hubbard_t # periodicity

eri = np.zeros((n,n,n,n))
for i in range(n):
    eri[i,i,i,i] = hubbard_U # Hubbard U

mf = scf.RHF(mol)
mf.conv_tol = 1e-8
mf.get_hcore = lambda *args: h1
mf.get_ovlp = lambda *args: np.eye(n)
mf._eri = ao2mo.restore(8, eri, n)
mf.kernel(np.ones((n, n)))

F = np.copy(mf.get_fock())

print('F =')
print(F)
energies, C = np.linalg.eig(F)
print('\nC =', C)
F0 = [[2., -1.,  0.,  0.,  0.,  0.],
 [-1., 2., -1.,  0.,  0.,  0.],
 [ 0., -1., 2., -1.,  0.,  0.],
 [ 0.,  0., -1., 2., -1.,  0.],
 [ 0.,  0.,  0., -1., 2., -1.],
 [ 0.,  0.,  0.,  0., -1., 2.]]
print('\nF - F0 =', F-F0)

energies0, C0 = np.linalg.eig(F0)
print('\nC0 =', C0)

同一个矩阵怎么会给出两组完全不同的特征向量呢？ 如果正在进行某种简单的酉变换，这应该不会影响实值矩阵的 np.matmul(np.matmul(C.T,F),C) 关系（上面提到的）。 我完全迷失在这里并且不禁认为我错过了一些非常基本的东西。任何帮助将不胜感激。

Answer 1

嗯，你的矩阵是对称的，所以它保证是可对角化的，有一些V.T @ F @ V，有V一个正交矩阵。矩阵 V 在排列和乘以 -1 列时是唯一的。（或者在对应于相同特征值的子空间上旋转，这里不是这种情况，因为你有不同的特征向量）。

numpy.linalg.eig 的文档说右特征值没有保证的顺序，特征向量有单位长度。这给了我们两个完整性检查。

        D, W = np.linalg.eig(F)
        assert(np.all(np.abs( W @ W.T - np.eye(W.shape[0])) < tol))
        assert(np.all(np.abs( F @ W - W @ np.diag(D)) < tol))

我检查了你的两个矩阵，确实 C0 是 F 的特征向量矩阵，而 C 不是。

plt.subplot(121), plt.imshow(C.T @ F0 @ C), plt.title('$C^T F C$')
plt.subplot(122), plt.imshow(C0.T @ F0 @ C0), plt.title('$C_0 F C_0$')

到目前为止，输入矩阵可能不同。但是当我们检查正交性时 C @ C.T ~ I 我会说它违反了 eig.

的陈述


plt.subplot(121), plt.imshow(C @ C.T), plt.title('$C C^T$')
plt.subplot(122), plt.imshow(C0 @ C0.T), plt.title('$C_0 C_0^T$')

这些库在很多地方都有使用，如果你能重现失败，这将是一个重要的 (BUG) 发现。

我针对 2 到 10 维的随机矩阵测试了上面的断言，上面的两个条件在 1e-10 的公差范围内有效。可能与F的结构有关吗？还用你的 F0 和一个小的加性噪声试了数千次，它起作用了。

np.linalg.eig 对同一个矩阵给出不同的特征向量

np.linalg.eig gives different eigenvectors for the same matrix

python

numpy

linear-algebra

python-3.x

numpy-ndarray