在 Coq 中归纳定义整数（归纳定义受制于关系）
Defining integers inductively in Coq (inductive definitions subject to relations)
在 Coq 中，可以归纳地定义自然数如下：
Inductive nat :=
| zero : nat
| succ : nat -> nat.
我想知道是否可以以类似的方式归纳定义 整数 ？我可以做类似
的事情
Inductive int :=
| zero : int
| succ : int -> int
| pred : int -> int.
但是我想在 int 的 定义 中断言 succ(pred x) = x 和 pred(succ x) = x，我不确定如何这样做。
您真正要求的是商归纳类型 (QIT)，目前在 Coq 中不受支持，尽管有一种方法可以使用私有归纳类型来绕过此限制（请参阅 these slides实例）。不用说，它离推荐的选项还很远（至少在 Coq 中，cubical-agda 的情况有所不同，它支持 HIT，QIT 的通用版本）。
一般来说，Coq 不提供任意商。标准解决方案要么转到 setoids（即配备了等价关系的类型，并表明您的所有结构都保留了这些等价关系，这是相当沉重的），要么使用您想要做的商的特定方面（参见 this paper).整数的情况实际上是该论文的主要例子之一。
在 Coq 中，可以归纳地定义自然数如下：
Inductive nat :=
| zero : nat
| succ : nat -> nat.
我想知道是否可以以类似的方式归纳定义 整数 ？我可以做类似
的事情Inductive int :=
| zero : int
| succ : int -> int
| pred : int -> int.
但是我想在 int 的 定义 中断言 succ(pred x) = x 和 pred(succ x) = x，我不确定如何这样做。
您真正要求的是商归纳类型 (QIT)，目前在 Coq 中不受支持，尽管有一种方法可以使用私有归纳类型来绕过此限制（请参阅 these slides实例）。不用说，它离推荐的选项还很远（至少在 Coq 中，cubical-agda 的情况有所不同，它支持 HIT，QIT 的通用版本）。
一般来说，Coq 不提供任意商。标准解决方案要么转到 setoids（即配备了等价关系的类型，并表明您的所有结构都保留了这些等价关系，这是相当沉重的），要么使用您想要做的商的特定方面（参见 this paper).整数的情况实际上是该论文的主要例子之一。