寻找双指数曲线拟合的 x？
Finding x for a bi-exponential curve fit?
我正在使用 python 来批处理一些数据并绘制它。我可以使用 scipy.curve_fit、一个双指数函数和一些合理的初始猜测很好地拟合它。这是一个代码片段：
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
y_new = []
for i in range(len(x)):
y = (a * np.exp(b*x[i])) + (c * np.exp(d*x[i])) + e
y_new.append(y)
return y_new
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
plt.scatter(x, jitter_y)
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10),
sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(0, x[-1])
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
plt.plot(x_fit, y_fit, 'r--')
plt.show()
我知道如何对它进行插值以找到给定 x 值的 y（通过将其放回函数中），但是如何找到给定 y 值的 x？我觉得必须有一个不需要重新安排和定义新函数的明智方法（部分原因是数学不是我的强项，我不知道该怎么做！）。如果曲线与数据吻合得很好，有没有办法简单地读出一个值？如有任何帮助，我们将不胜感激！
原来，你的问题与曲线拟合无关，实际上是关于求根的。 Scipy.optimize 有一个 whole arsenal of functions 用于此任务。选择和配置正确的一个有时很困难。我可能不是这里最好的向导，但由于没有其他人加强...
求根尝试确定 x 的 f(x) 值为零的值。要找到 x0 其中 f(x0) 是某个 y0 值，我们只需将函数转换为 g(x) = f(x)-y0。
由于您的函数是单调的，因此对于给定的 y 值，预期的根不会超过一个。我们也知道搜索的 x 区间，所以 bisect 似乎是一个合理的策略：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, bisect
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
return (a * np.exp(b*x)) + (c * np.exp(d*x)) + e
np.random.seed(123)
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.scatter(x, jitter_y, marker="x", color="blue", label="raw data")
#your curve fit routine
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10), sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
ax.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label="fit")
#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test
#here, the bisect method tries to establish the x for which f(x)=0
x_test=bisect(biexpfunc, x.min(), x.max(), args=tuple(test_popt))
#we calculate the deviation from the expected y-value
tol_test, = np.abs(y_test - biexpfunc(np.asarray([x_test]), *popt))
#and mark the determined point in the graph
ax.axhline(y_test, ls="--", color="grey")
ax.axvline(x_test, ls="--", color="grey")
ax.plot(x_test, y_test, c="tab:orange", marker="o", markersize=15, alpha=0.5)
ax.annotate(f"X: {x_test:.2f}, Y: {y_test:.2f}\ntol: {tol_test:.4f}",
xy=(x_test, y_test), xytext=(50, 50), textcoords="offset points",
arrowprops=dict(facecolor="tab:orange", shrink=0.05),)
ax.legend(title="root finding: bisect")
plt.show()
示例输出：
另一种确定更复杂函数的根的方法是，令人惊讶的是，root。脚本基本相同，只是寻根套路略有不同，比如我们可以选择寻根方式：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, root
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
return (a * np.exp(b*x)) + (c * np.exp(d*x)) + e
np.random.seed(123)
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.scatter(x, jitter_y, marker="x", color="blue", label="raw data")
#your curve fit routine
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10), sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
ax.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label="fit")
#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test
#calculate corresponding x-value with root finding
r=root(biexpfunc, x.mean(), args=tuple(test_popt), method="lm")
x_test, = r.x
tol_test, = np.abs(y_test - biexpfunc(r.x, *popt))
#mark point in graph
ax.axhline(y_test, ls="--", color="grey")
ax.axvline(x_test, ls="--", color="grey")
ax.plot(x_test, y_test, c="tab:orange", marker="o", markersize=15, alpha=0.5)
ax.annotate(f"X: {x_test:.2f}, Y: {y_test:.2f}\ntol: {tol_test:.4f}",
xy=(x_test, y_test), xytext=(50, 50), textcoords="offset points",
arrowprops=dict(facecolor="tab:orange", shrink=0.05))
ax.legend(title="root finding: lm")
plt.show()
示例输出：
在这种情况下，图表看起来完全相同。这不一定适用于每个功能；就像曲线拟合一样，正确的方法可以显着改善结果。
我正在使用 python 来批处理一些数据并绘制它。我可以使用 scipy.curve_fit、一个双指数函数和一些合理的初始猜测很好地拟合它。这是一个代码片段：
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
y_new = []
for i in range(len(x)):
y = (a * np.exp(b*x[i])) + (c * np.exp(d*x[i])) + e
y_new.append(y)
return y_new
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
plt.scatter(x, jitter_y)
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10),
sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(0, x[-1])
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
plt.plot(x_fit, y_fit, 'r--')
plt.show()
我知道如何对它进行插值以找到给定 x 值的 y（通过将其放回函数中），但是如何找到给定 y 值的 x？我觉得必须有一个不需要重新安排和定义新函数的明智方法（部分原因是数学不是我的强项，我不知道该怎么做！）。如果曲线与数据吻合得很好，有没有办法简单地读出一个值？如有任何帮助，我们将不胜感激！
原来，你的问题与曲线拟合无关，实际上是关于求根的。 Scipy.optimize 有一个 whole arsenal of functions 用于此任务。选择和配置正确的一个有时很困难。我可能不是这里最好的向导，但由于没有其他人加强...
求根尝试确定 x 的 f(x) 值为零的值。要找到 x0 其中 f(x0) 是某个 y0 值，我们只需将函数转换为 g(x) = f(x)-y0。
由于您的函数是单调的，因此对于给定的 y 值，预期的根不会超过一个。我们也知道搜索的 x 区间，所以 bisect 似乎是一个合理的策略：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, bisect
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
return (a * np.exp(b*x)) + (c * np.exp(d*x)) + e
np.random.seed(123)
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.scatter(x, jitter_y, marker="x", color="blue", label="raw data")
#your curve fit routine
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10), sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
ax.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label="fit")
#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test
#here, the bisect method tries to establish the x for which f(x)=0
x_test=bisect(biexpfunc, x.min(), x.max(), args=tuple(test_popt))
#we calculate the deviation from the expected y-value
tol_test, = np.abs(y_test - biexpfunc(np.asarray([x_test]), *popt))
#and mark the determined point in the graph
ax.axhline(y_test, ls="--", color="grey")
ax.axvline(x_test, ls="--", color="grey")
ax.plot(x_test, y_test, c="tab:orange", marker="o", markersize=15, alpha=0.5)
ax.annotate(f"X: {x_test:.2f}, Y: {y_test:.2f}\ntol: {tol_test:.4f}",
xy=(x_test, y_test), xytext=(50, 50), textcoords="offset points",
arrowprops=dict(facecolor="tab:orange", shrink=0.05),)
ax.legend(title="root finding: bisect")
plt.show()
示例输出：
另一种确定更复杂函数的根的方法是，令人惊讶的是，root。脚本基本相同，只是寻根套路略有不同，比如我们可以选择寻根方式：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit, root
def biexpfunc(x, a, b, c, d, e):
return (a * np.exp(b*x)) + (c * np.exp(d*x)) + e
np.random.seed(123)
x = np.linspace(0, 160, 100)
y = biexpfunc(x, 50, -0.2, 50, -0.1, 10)
jitter_y = y + 0.5 *np.random.rand(len(y)) - 0.1
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 8))
ax.scatter(x, jitter_y, marker="x", color="blue", label="raw data")
#your curve fit routine
sigma = np.ones(len(x))
sigma[[0, -1]] = 0.01
popt, pcov = curve_fit(biexpfunc, x, jitter_y, p0 = (50, -0.2, 50, -0.1, 10), sigma = sigma)
x_fit = np.linspace(x.min(), x.max(), 100)
y_fit = biexpfunc(x_fit, *popt)
ax.plot(x_fit, y_fit, 'r--', label="fit")
#y-value for which we want to determine the x-value(s)
y_test=55
test_popt = popt.copy()
test_popt[-1] -= y_test
#calculate corresponding x-value with root finding
r=root(biexpfunc, x.mean(), args=tuple(test_popt), method="lm")
x_test, = r.x
tol_test, = np.abs(y_test - biexpfunc(r.x, *popt))
#mark point in graph
ax.axhline(y_test, ls="--", color="grey")
ax.axvline(x_test, ls="--", color="grey")
ax.plot(x_test, y_test, c="tab:orange", marker="o", markersize=15, alpha=0.5)
ax.annotate(f"X: {x_test:.2f}, Y: {y_test:.2f}\ntol: {tol_test:.4f}",
xy=(x_test, y_test), xytext=(50, 50), textcoords="offset points",
arrowprops=dict(facecolor="tab:orange", shrink=0.05))
ax.legend(title="root finding: lm")
plt.show()
示例输出：
在这种情况下，图表看起来完全相同。这不一定适用于每个功能；就像曲线拟合一样，正确的方法可以显着改善结果。