从平面方程计算变换矩阵
Compute the transformation matrix from plane equation
我正在尝试找到平行投影矩阵以将 3D 任意点投影到方程 ax+by+cz+d=0 的平面。我想将我的 3D 点投影到平面上，平行于平面的法线。我知道如何以经典方式进行操作，但我听说过齐次矩阵。我找到了很多关于透视投影矩阵的信息，但我有点迷茫，不知道如何将其应用于我的问题..
有什么帮助吗？
谢谢
虽然您将从 Ax + By + Cz + D = 0 形式的平面方程开始，但您首先要定义一个允许您使用平面参数方程的局部坐标系。
我们感兴趣的平面的参数方程需要您将其写成原点 Q（平面上的任意点）加上坐标 u 乘以某个向量的形式U 在平面上，加上坐标 v 乘以某个向量 V 也在平面内，但与 U 加上坐标 n 乘以法线不共线向量 N = (A,B,C).
Q + uU + vV + nN
如果你有这些 u,v,n 坐标，你将执行将 space 中的所有点投影到平面上的操作，只需将它们的 n 坐标设置为零并保持它们的 u 和 v 坐标原样。
所以我们将从一个矩阵开始，该矩阵可以从 u,v,n 中的 local 坐标系（平面的局部）转换到 global 坐标系中的 x,y,z 坐标。这真的很简单，可以写成 4x4 齐次矩阵。
[ Ux Vx Nx Qx ]
G = [ Uy Vy Ny Qy ]
[ Uz Vz Nz Qz ]
[ 0 0 0 1 ]
(提醒 Nx = A Ny = B 和 Nz = C。)
称此矩阵为 G（表示“全局”）。逆 G⁻¹ 将从全局坐标转换回局部坐标。
我们将 n 坐标压缩为零的矩阵 F（表示“展平”）很简单：
[ 1 0 0 0 ]
F = [ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
现在我们可以构建矩阵 M，首先使用 G⁻¹ 从全局坐标转换为局部坐标，然后使用 F 将其展平到平面，然后从局部坐标转换到 G 的全局坐标。 （请记住矩阵的顺序是相反的，因为向量在右边。）
M = GFG⁻¹
这是一个 4x4 矩阵，由 G 乘以 F 乘以 G⁻¹。
我跳过了两个步骤。
- 如何选择平面中的点
Q。
- 如何为
U 和 V 选择向量
我们可以为平面的参数化定义选择任何原点，因为我们不会使用 u 或 v 坐标。
要在平面中找到一个点 Q 作为原点，我们可以找到平面与 X、Y 或 Z 轴相交的位置。 （它 将 击中其中之一）。只需使用法向量的任何非零坐标。这就好比把点(0,0,z)代入平面方程Ax + By + Cz + D = 0求解z。根据哪个坐标不为零，存在三个可能合适的点。
(0, 0, -D/C)(0, -D/B, 0)(-D/A, 0, 0)
要为 U 和 V 选择向量（它们实际上不必是单位向量），您只需选择平面中不共线的向量。
要选择一个 U 向量，我们可以取任何向量，然后取该向量与法线的叉积。结果将是平面中的矢量。我们只需要确保这个叉积不会导致零长度向量。也就是说，我们选择的“任意向量”一定不能与法线共线。我们可以select其中之一：
X̂ = (1, 0, 0)Ŷ = (0, 1, 0)Ẑ = (0, 0, 1)
例如：U = N × X̂
上述选择之一将适当地与法向量不共线。在继续之前检查叉积是否不是零长度。
然后，要获得 V 向量，我们只需取 V = N × U（叉积）。同样，这些向量中的 none 必须是单位向量，因为我们不关心 u 和 v 坐标，也不关心 n 的大小] 坐标，因为无论如何我们都要将其压缩为零。
所以构建矩阵只需要几个步骤，但希望这概述了您为获得它而必须做的所有工作。然后你可以将任何点 P 乘以矩阵以将其投影到平面上。
例如：P' = MP
希望您对使用 4x4 矩阵足够自如，当然，提供您想要以同质形式变换的向量，这是一个坐标为 (x,y,z,1).[=71= 的 4 向量]
我正在尝试找到平行投影矩阵以将 3D 任意点投影到方程 ax+by+cz+d=0 的平面。我想将我的 3D 点投影到平面上，平行于平面的法线。我知道如何以经典方式进行操作，但我听说过齐次矩阵。我找到了很多关于透视投影矩阵的信息，但我有点迷茫，不知道如何将其应用于我的问题..
有什么帮助吗？
谢谢
虽然您将从 Ax + By + Cz + D = 0 形式的平面方程开始，但您首先要定义一个允许您使用平面参数方程的局部坐标系。
我们感兴趣的平面的参数方程需要您将其写成原点 Q（平面上的任意点）加上坐标 u 乘以某个向量的形式U 在平面上，加上坐标 v 乘以某个向量 V 也在平面内，但与 U 加上坐标 n 乘以法线不共线向量 N = (A,B,C).
Q + uU + vV + nN
如果你有这些 u,v,n 坐标，你将执行将 space 中的所有点投影到平面上的操作，只需将它们的 n 坐标设置为零并保持它们的 u 和 v 坐标原样。
所以我们将从一个矩阵开始，该矩阵可以从 u,v,n 中的 local 坐标系（平面的局部）转换到 global 坐标系中的 x,y,z 坐标。这真的很简单，可以写成 4x4 齐次矩阵。
[ Ux Vx Nx Qx ]
G = [ Uy Vy Ny Qy ]
[ Uz Vz Nz Qz ]
[ 0 0 0 1 ]
(提醒 Nx = A Ny = B 和 Nz = C。)
称此矩阵为 G（表示“全局”）。逆 G⁻¹ 将从全局坐标转换回局部坐标。
我们将 n 坐标压缩为零的矩阵 F（表示“展平”）很简单：
[ 1 0 0 0 ]
F = [ 0 1 0 0 ]
[ 0 0 0 0 ]
[ 0 0 0 1 ]
现在我们可以构建矩阵 M，首先使用 G⁻¹ 从全局坐标转换为局部坐标，然后使用 F 将其展平到平面，然后从局部坐标转换到 G 的全局坐标。 （请记住矩阵的顺序是相反的，因为向量在右边。）
M = GFG⁻¹
这是一个 4x4 矩阵，由 G 乘以 F 乘以 G⁻¹。
我跳过了两个步骤。
- 如何选择平面中的点
Q。 - 如何为
U和V 选择向量
我们可以为平面的参数化定义选择任何原点，因为我们不会使用 u 或 v 坐标。
要在平面中找到一个点 Q 作为原点，我们可以找到平面与 X、Y 或 Z 轴相交的位置。 （它 将 击中其中之一）。只需使用法向量的任何非零坐标。这就好比把点(0,0,z)代入平面方程Ax + By + Cz + D = 0求解z。根据哪个坐标不为零，存在三个可能合适的点。
(0, 0, -D/C)(0, -D/B, 0)(-D/A, 0, 0)
要为 U 和 V 选择向量（它们实际上不必是单位向量），您只需选择平面中不共线的向量。
要选择一个 U 向量，我们可以取任何向量，然后取该向量与法线的叉积。结果将是平面中的矢量。我们只需要确保这个叉积不会导致零长度向量。也就是说，我们选择的“任意向量”一定不能与法线共线。我们可以select其中之一：
X̂ = (1, 0, 0)Ŷ = (0, 1, 0)Ẑ = (0, 0, 1)
例如：U = N × X̂
上述选择之一将适当地与法向量不共线。在继续之前检查叉积是否不是零长度。
然后，要获得 V 向量，我们只需取 V = N × U（叉积）。同样，这些向量中的 none 必须是单位向量，因为我们不关心 u 和 v 坐标，也不关心 n 的大小] 坐标，因为无论如何我们都要将其压缩为零。
所以构建矩阵只需要几个步骤，但希望这概述了您为获得它而必须做的所有工作。然后你可以将任何点 P 乘以矩阵以将其投影到平面上。
例如：P' = MP
希望您对使用 4x4 矩阵足够自如，当然，提供您想要以同质形式变换的向量，这是一个坐标为 (x,y,z,1).[=71= 的 4 向量]