特征向量的 QR 方法 Python

Question

我正在尝试使用 QR 方法查找矩阵 A 的特征向量。我找到了对应于最大特征值的特征值和特征向量。如何在不使用 numpy.linalg.eig 的情况下找到其余的特征向量？

import numpy as np

A = np.array([
    [1, 0.3],
    [0.45, 1.2]
])

def eig_evec_decomp(A, max_iter=100):
    A_k = A
    Q_k = np.eye(A.shape[1])
    
    for k in range(max_iter):
        Q, R = np.linalg.qr(A_k)
        Q_k = Q_k.dot(Q)
        A_k = R.dot(Q)

    eigenvalues = np.diag(A_k)
    eigenvectors = Q_k
    
    return eigenvalues, eigenvectors
 
evals, evecs = eig_evec_decomp(A)
print(evals)
# array([1.48078866, 0.71921134])

print(evecs)
# array([[ 0.52937334, -0.84838898],
#       [ 0.84838898,  0.52937334]])

接下来我检查条件：

Ax=wx  
Where:
A - Original matrix;  
x - eigenvector;  
w - eigenvalue.

检查条件：

print(np.allclose(A.dot(evecs[:,0]), evals[0] * evecs[:,0]))
# True
print(np.allclose(A.dot(evecs[:,1]), evals[1] * evecs[:,1]))
# False

Answer 1

算法中没有承诺 Q_k 会将特征向量作为列。存在正交本征基的情况甚至相当罕见。这非常特殊，以至于这种情况有一个名字，这些是 normal 矩阵，其特征在于它们与转置交换。

一般来说，你收敛到的 A_k 仍然是上三角，对角线上方有非平凡的内容。通过计算 Q_k.T @ A @ Q_k 检查。从该结构可知，第i个特征向量是Q_k的前k列的线性组合。这可以在一定程度上简化特征向量方程的求解。或者直接求收敛的A_k的特征向量，用Q_k.

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特征向量的 QR 方法 Python

QR method for eigenvectors Python

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