计算点在二维密度面上的概率

Question

如果我像这个例子一样计算两个向量的二维密度表面：

library(MASS)
a <- rnorm(1000)
b <- rnorm(1000, sd=2)
f1 <- kde2d(a, b, n = 100)

我得到以下表面

filled.contour(f1)

z 值是估计的密度。

我现在的问题是：是否可以计算单个点的概率，例如a = 1, b = -4

[因为我不是统计学家，所以这可能是错误的措辞。对不起。我想知道 - 如果这可能的话 - 一个点出现的概率是多少。]

感谢您的每一条评论！

Answer 1

如果您指定一个区域，则该区域具有与您的密度函数相关的概率。当然，单个点的概率不为零。但它在那个时候确实有一个非零密度。那是什么？

密度是当正常面积度量变为零时，在除以正常面积度量的面积上积分的概率密度的积分极限。（实际上很难正确说明，需要尝试几次，但仍然不是最佳选择）。

所有这些都是基本的微积分。编写一个例程来计算区域上该密度的积分也相当容易，尽管我想 MASS 有标准的方法可以使用更复杂的积分技术来做到这一点。这是我根据您的示例组合在一起的快速例程：

library(MASS)
n <- 100
a <- rnorm(1000)
b <- rnorm(1000, sd=2)
f1 <- kde2d(a, b, n = 100)
lims <- c(min(a),max(a),min(b),max(b))

filled.contour(f1)

prob <- function(f,xmin,xmax,ymin,ymax,n,lims){
  ixmin <- max( 1, n*(xmin-lims[1])/(lims[2]-lims[1]) )
  ixmax <- min( n, n*(xmax-lims[1])/(lims[2]-lims[1]) )
  iymin <- max( 1, n*(ymin-lims[3])/(lims[4]-lims[3]) ) 
  iymax <- min( n, n*(ymax-lims[3])/(lims[4]-lims[3]) )
  avg <- mean(f$z[ixmin:ixmax,iymin:iymax])
  probval <- (xmax-xmin)*(ymax-ymin)*avg
  return(probval)
}
prob(f1,0.5,1.5,-4.5,-3.5,n,lims)
# [1] 0.004788993
prob(f1,-1,1,-1,1,n,lims)
# [1] 0.2224353
prob(f1,-2,2,-2,2,n,lims)
# [1] 0.5916984
prob(f1,0,1,-1,1,n,lims)
# [1] 0.119455
prob(f1,1,2,-1,1,n,lims)
# [1] 0.05093696
prob(f1,-3,3,-3,3,n,lims)
# [1] 0.8080565
lims
# [1] -3.081773  4.767588 -5.496468  7.040882

请注意，例程似乎是正确的，并且给出了合理的答案，但它没有经过任何接近我会给予它的生产函数的审查。

Answer 2

这里的 z 值称为 "probability density" 而不是 "probability"。正如评论所指出的那样，如果您想要估计的概率，则需要对估计的密度进行积分以找到估计表面下的体积。

但是，如果你想要的是特定点的概率密度，那么你可以使用：

kde2d(a, b, n=1, lims=c(1, 1, -4, -4))$z[1,1]
# [1] 0.006056323

这将计算一个 1x1 "grid"，其中包含您想要的点的单一密度估计值。

确认它有效的情节：

z0 <- kde2d(a, b, n=1, lims=c(1, 1, -4, -4))$z[1,1]

filled.contour(
    f1,
    plot.axes = {
        contour(f1, levels=z0, add=TRUE)
        abline(v=1, lty=3)
        abline(h=-4, lty=3)
        axis(1); axis(2)
    }
)

计算点在二维密度面上的概率

Calculate probability of point on 2d density surface

modeling

r

distribution

probability